Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.
Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.
Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.
Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.
ЗНАКИ ДЬЯВОЛА. Магия и Технологии | Серия Джинны
Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.
Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.
Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.
Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.
Теорема 4.
Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.
Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.
Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле:
В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.
Напомним определение правильного многоугольника:
Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.
Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.
Что означает изображение глаза в треугольнике? (прот. Владимир Головин)
Теорема 6.
Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен
А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
Докажем эту теорему.
У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.
Пусть в правильном треугольнике стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда
Из треугольника АВН получаем, что длина стороны
Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника —
Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник
Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.
Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.
Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.
Длина стороны равностороннего треугольника равна
Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:
где — сторона треугольника.
Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.
Вот две полезные формулы для площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
— радиус окружности, вписанной в треугольник.
Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :
где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.
Для любого треугольника верна теорема синусов:
Теорема синусов:
R — радиус описанной окружности
Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.
Выразим площадь треугольника двумя разными способами:
где – полупериметр треугольника, a – его стороны.
Тогда , а диаметр окружности равен
Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .
Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .
Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:
Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что .
В ответ запишем .
Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике сторона равна , а угол равен . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
По теореме синусов
Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике угол А равен , а угол В – . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если сторона равна 10.
Зная, что сумма углов треугольника равна , найдем угол С.
По теореме синусов
Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
По теореме синусов,
Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .
Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.
, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем .
Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.
Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .
находится по теореме Пифагора из треугольника :
Периметр треугольника – это сумма длин сторон, т.е.
Радиус вписанной окружности r найдем по формуле
Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника равны 6 и соответственно, угол . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника .
Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :
Теперь воспользуемся теоремой синусов:
Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника , равен 6.
Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.
Пусть длина радиуса описанной окружности , а длина радиуса вписанной окружности
Что означает символ Даров Смерти?
Символ Даров Смерти u2013 вертикальная линия и окружность, заключенные в треугольник u2013 представляет три легендарных артефакта Гарри Поттера: Бузинную палочку, Воскрешающий камень и Плащ-невидимку. Символ масонского квадрата и компаса образует аналогичную треугольную форму.
Является ли символ Даров Смерти злом? «Как символ, Дары смерти напоминают свастику. Оба изначально были положительными символами духовно-мифологического происхождения, которые приобрели крайне негативные коннотации после того, как были приняты злыми политическими движениями (силами Гриндевальда и нацистской партией соответственно)».
Как называется символ Даров Смерти? Треугольный символ Даров Смерти состоит из Бузинная палочка, Воскрешающий камень и Плащ-невидимка. Тот, кто обладает всеми тремя, считается Повелителем Смерти.
Кроме того, являются ли Дары Смерти настоящим символом? Джоан Роулинг раскрыла источник вдохновения для символа Даров смерти. Выступая в новом документальном фильме BBC, автор говорит, что это связано с фильмом, вышедшим более 40 лет назад. В фильме представлены масонский символ — и похож на тот, что появляется в «Гарри Поттере».
Что означает ожерелье Даров Смерти?
Знак Даров Смерти был треугольным знаком, используемым для представления Даров Смерти, трех легендарных предметов, которые якобы, если объединившись, сделало бы одного «Владыкой Смерти», также известный как «Победитель смерти» и «Победитель смерти».
Что означает татуировка Дары смерти? Символ Даров Смерти представляет собой сочетание круга, линии и треугольника. Они представляют три Дара Смерти: круг — воскрешающий камень, черточка — бузинная палочка, треугольник — плащ-невидимка. Любой, кто обладает всеми тремя артефактами, станет Повелителем Смерти.
Просто так, является ли Воскресенский камень философским камнем? Нет. Философский камень дает бессмертие и золото. Воскрешающий камень возвращает мертвых к жизни (хотя и в неполной форме).
Что такое Воскресенский камень? Воскресенский камень был один из легендарных Даров Смерти. В «Сказке о трех братьях» это был второй Дар, созданный предположительно самой Смертью. Он был дарован Кадмусу Певереллу после того, как он попросил в качестве награды что-то, способное вернуть близких из Смерти.
Что такое символ Пожирателя смерти?
Символ Пожирателей Смерти (называемый темной меткой) змея, выходящая изо рта черепа, и клеймо на левом запястье каждого Пожирателя смерти. Он часто используется Волан-де-Мортом для призыва своих последователей. Его можно заставить появиться на небе с помощью заклинания «morsmordre».
Какая самая известная цитата из Гарри Поттера? Лучшие цитаты о Гарри Поттере, чтобы жить жизнью
- «Я такой, какой я есть, и мне не стыдно. …
- «Время не замедлится, когда впереди что-то неприятное». …
- «Если вы хотите знать, каков мужчина, внимательно посмотрите, как он обращается со своими подчиненными, а не со своими равными». …
- «Не следует думать о мечтах и забывать о жизни».
Что означают 3 звезды в Гарри Поттере?
Татуировка представляет собой Дары Смерти — треугольник с кругом внутри и вертикальной линией, проходящей через него. Он представляет бузинную палочку, плащ-невидимка и воскрешающий камень, три предмета, которыми вы должны обладать, чтобы справиться со смертью.
Что означает тату треугольник? Татуировки треугольники также символизируют мудрость, любовь и связь
Сочетание мысли и эмоции якобы открывает разум, что делает треугольник очень священным символом.
Был ли Философский камень хоркруксом?
Нет. Хотя думать об этом как о хоркруксе логично (потому что вещество даст пьющему полное бессмертие). это не хоркрукс. Хоркрукс — это предмет, в котором скрыта часть души. Камень не скрывает чью-либо душу, поэтому делает его хоркруксом.
Является ли Плащ-невидимка даром смерти?
Информация о Даре Смерти
Плащ-невидимка был магический артефакт, делающий владельца невидимым, и один из легендарных Даров Смерти. В «Сказке о трех братьях» это был третий и последний Дар, созданный предположительно самой Смертью (у которой в то время был плащ).
Камень воскрешения спас Гарри? «Если бы он умер, Хоркрукс действительно был бы уничтожен». И когда фанат указал, что Камень Воскресения все еще работает на Гарри после того, как Дамблдор использовал меч Годрика Гриффиндора, чтобы уничтожить крестраж внутри кольца Марволо Гонта, автор предоставил некоторые дополнительные объяснения.
У кого есть плащ-невидимка? Известные владельцы
| Джеймс Поттер II | Получил семейный плащ от отца до шестилетнего возраста. |
| Альбус Поттер | Украл семейный плащ у своего брата Джеймса. |
| Также использовал плащ-невидимку Гарри Поттера. | Гермиона Грейнджер |
| Рон Уизли |
Был ли воскрешающий камень хоркруксом?
У кольца Марволо Гонта уже была любопытная история, прежде чем оно стало хоркруксом. В его основе был Камень Воскресения – Дар смерти когда-то принадлежал Кадмусу Певереллу. … После того, как камень превратился в хоркрукс, камень был помещен в золотой снитч и оставлен Гарри Поттеру по завещанию Дамблдора.
Почему Гарри не использует воскрешающий камень? Первоначальный ответ: Почему Гарри Поттер не использовал воскрешающий камень, чтобы вернуть своих друзей (погибших при осаде Хогвартса)? Потому что мёртвым никогда не суждено было вернуться к жизни.. Они вернутся к жизни, но не будут живыми. Их глаза были бы мертвы.
Где находится тату Пожирателя Смерти?
Кобра Кай 4 сезон – Петля
Темная Метка была символом Лорда Волан-де-Морта и его Пожирателей Смерти. Это относится и к магическому клейму, которое каждый Пожиратель Смерти носил на своем теле. внутренняя сторона левого предплечья, и тому же символу, вызванному в небе заклинанием Морсмордр.
Волдеморт — Пожиратель Смерти? То Смерть Пожиратели, ближайшее окружение верных последователей Волдеморта, вселяют страх в сердца волшебников, ведьм и поклонников Гарри Поттера повсюду. Даже когда сам Волан-де-Морт был слишком слаб, чтобы действовать, Пожиратели смерти, которыми он командовал, оставались постоянной угрозой.
Как зовут стражников Азкабана?
При Кингсли Шеклболте Азкабан был очищен от дементоров. Хотя он по-прежнему используется как тюрьма, охранники теперь авроры, которых регулярно ротируют с материка. С момента введения этой новой системы не было ни одного прорыва.
Что сказал Добби перед смертью? Последние слова Добби перед смертью на руках Гарри:такое красивое место, чтобы быть с друзьями. Добби счастлив быть со своим другом Гарри Поттером».
Что означали первые слова Снейпа, обращенные к Гарри?
Он сказал: «Согласно викторианскому цветочному языку, асфодель — это тип лилии, означающей «мои сожаления следуют за тобой в могилу», а полынь означает «отсутствие», а также обычно символизирует горькую печаль». Если объединить это, слова Снейпа означают:Я горько сожалею о смерти Лили».
Кто самый храбрый волшебник в Гарри Поттере? 1 Северус Снейп
Это несколько болезненно признавать только потому, что Северус Снейп иногда может быть таким придурком, но на самом деле он самый смелый персонаж во всей серии по многим причинам.
У Гарри Поттера была татуировка?
Ромильда Вейн хотела знать, есть ли у Гарри татуировка гиппогрифа. Итак, Джинни выдумала историю, которая на самом деле была татуировка венгерской хвостороги вместо. (Чтобы добавить оскорбления, когда Гарри спросил, какая татуировка, по ее словам, у Рона, Джинни ответила: «Пигмейская затяжка».)
Это настоящая цитата из Гарри Поттера? Гарри Поттер: Это все правда? Или это просто происходит в моей голове? Профессор Альбус Дамблдор: Конечно, это происходит у тебя в голове. Гарри.
Почему это должно означать, что это не реально?
Какая первая фраза в Гарри Поттере? Первая строчка Гарри Поттера: «Мистер. и миссис Дурсли из номера четыре, Тисовая улица, с гордостью сказали, что они совершенно нормальные, большое спасибо.». Может показаться странным начинать серию о волшебном мире со скучного старого Дурсля.
Не забудьте поделиться этим постом
Источник: celebrity.fm
Что означает треугольник с кругом внутри
«Во сне мне привиделась вечность
Будто кольцо бесконечного чистого света
Столь же спокойного, сколь яркого»
Круг — это солярный символ, что обусловлено не только формой, но и круговым характером суточного и годового движения солнца. Соотносится со сферой как идеальным геометрическим телом, а также с числом десять, символом полного цикла, возвращения от множественности к единству. Тесно связан с символизмом колеса — движение по кругу означает постоянное возвращение к самому себе.
Основные значения:
— божественное начало, Бог, Небо, небесное единство, (первоначальное) совершенство, Всеобщее;
— отсутствие начала и конца, Вечность, целостность, непрерывность;
— соразмерное ограничение, видимый (явленный) мир, точность, заключение;
— светила, Солнце;
— движение, динамизм;
— круговорот жизни, временной цикл, солярные циклы, вращение, возвратное и/ или цикличное движение, непрерывное развитие;
— завершение, исполнение;
— мужская сила;
— женственный и материнский принцип;
— душа.
В древней традиции солнечный круг олицетворял понятие «Сердце Мира». Древний дохристианский знак колеса-солнца. Как бесконечная линия символизирует время в вечности, которая также изображается в виде змея, кусающего себя за хвост (Уробороса).
Круг — одна из форм созидания пространства. Различные архитектурные строения являются круглыми в плане, в форме окружности возводятся поселения. Круг — это форма кочевых шатров и поселений, символизирующая динамизм и бесконечное движение в противовес квадратам домов, участкам земли и городам оседлых и зерносеющих народов.
Одной из основных функций круга является разграничение внутреннего и внешнего пространства. Считается, что круг – идеальный охранный знак, все помещенное внутрь круга становится недосягаемым для враждебных сущностей. Недаром маги всех времен использовали этот символ именно в защитных целях: большинство магических операций, описанных в известных источниках, требуют начертания особого круга, в котором должен находиться маг во время работы.
Направление начертания серьезно влияет на значение символа. Круг, нарисованный по часовой стрелке, олицетворяет начало, развитие любого процесса, прогресс. Движение против часовой стрелки означает прекращение процесса – этот вариант обычно используют целители, обводя больное место пальцем противосолонь: считается, что в таком случае боль уйдет, воспаление прекратится.
В большинстве традиций космос, в качестве упорядоченного пространства жизни, предстает в виде шара, графически изображаемого посредством круга. В символике круга также нашла отражение идея цикличности времени (русское слово «время» прослеживается до корня со значением «то, что вращается»; зодиак, олицетворение года, – это «круг зверей»).
Например, в мандале внешний круг символизирует целостность универсума, вписанный в него квадрат – пространство обитаемого мира, тогда как круг внутри квадрата содержит сакральный объект почитания.
В западной традиции представление о синтезе круга и квадрата воплощено в понятии квадратуры круга. Круг с квадратом – это Небо и Земля, интеграция, соединение; они предполагают друг друга, как время и пространство. Вписать квадрат в круг – значит трансформировать сферическую форму Небес в прямоугольную форму Земли в культовом здании, храме или церкви, опустив Небо до Земли и объединив четыре элемента, и возвратиться к изначальному состоянию простоты в единстве. (Запись про квадрат) Промежуточной ступенью в пересечении круга квадратом является восьмиугольник.
У американских индейцев круг, сияющий вовнутрь и наружу, подобно оперенному солнцу олицетворяет вселенную. Круги, сделанные при разбивке лагеря, и циркулярные вершины тентов являются образом космоса, где северная сторона означает Небо, а южная – Землю. Небольшие кружки на жертвенных сосудах часто представляют собой жертвенную облатку, хлебец.
В дзен-буддизме, где отсутствует понятие Бога, круг становится символом просветления как абсолюта. Китайский символ инь-ян, имеющий вид круга, разделенного пополам волнистой линией, символизирует взаимодействие, взаимопроникновение двух начал бытия.
У Данте Троица воплощена в образе трех равновеликих кругов разного цвета. Один из них (Бог Сын) являлся как бы отражением другого (Бога Отца), словно радуга, рожденная радугой, а третий (Бог Дух) казался пламенем, рожденным обоими этими кругами (согласно учению католицизма, Святой Дух исходит от Отца и Сына). В этом контексте символика круга утвердилась при фиксировании идеи верховной власти на земле (шар-держава, кольцо).
В христианстве концентрические круги представляют духовные иерархии или разные стадии творения. Три пересекающих друг друга круга означают Троицу. Равнобедренный треугольник с тремя кругами является монограммой трех ипостасей одного Бога.
В силу того, что круг традиционно соотносится с солнцем и рассматривается как самая совершенная из фигур, превосходящая прочие, господствующая над ними, то верховное божество также представляется в виде круга. Круг — символ всех солнечных богов.
Центр круга – источник бесконечного вращения времени и пространства. Круг с точкой в центре олицетворяет полный цикл и возобновляющееся совершенство, разрешение всех возможностей в существовании. В астрологии такой круг символизирует Солнце, в алхимии – Солнце и золото.
Два одинаковых круга – это женское и мужское, любовь и знание, Диоскуры.
Три концентрических круга символизируют прошлое, настоящее и будущее; три сферы земли: землю, воздух и воду; небесные миры, землю и преисподнюю; фазы луны; восходящее, полуденное и заходящее солнце, а также динамику примирения противоположностей.
Тройные круги и три сцепленных круга олицетворяют Троицу, неразделимое единство жизни, движения и напряженного динамизма.
Четыре круга, связанные центральным, наподобие креста, – это мудрость, знание и надежда.
Семикратный солярный круг символизирует Всезнающего, совершенство, Семь Небес.
Источник: proklarush.livejournal.com