Куб (гексаедр) — это трехмерная фигура, которая состоит из шести динаковых квадратов так, что каждый квадрат полностью соприкасается своими четырьмя сторонами к сторонам остальных четырех квадратов под прямым углом. Куб является правильным многогранником, у которого грани образованы из квадратов. Также кубом можно назвать прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
 |
 |
Определение. Грань куба — это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата.
— куб имеет шесть граней;
— каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная шестой грани;
— грани имеют одинаковую площадь, которую можно найти, используя формулы для вычисления площади квадрата.
Подсчёт количества граней и рёбер у трёхмерных фигур | Фигура | Геометрия
Определение. Ребро куба — это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.
— куб имеет двенадцать ребер;
— каждый конец ребра соединен с двумя соседними ребрами под прямым углом;
— ребра куба имеют одинаковую длину.
Определение. Вершина куба — это самая отдаленная от центра куба точка, которая лежит на пересечения трех граней куба.
— куб имеет восемь вершин;
— каждая вершина образована только тремя гранями и тремя ребрами.
Определение. Центр грани куба (O1) — это равноудалена точка от всех ребер грани куба.
Определение. Центр куба (O) — это равноудалена точка от всех граней куба.
Определение. Ось куба ( i ) — это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба.
— куб имеет три оси;
— оси куба взаимно перпендикулярны.
Определение. Диагональ куба ( d 1) — отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.
— куб имеет четыре диагонали;
— диагонали куба пересекаются и делятся пополам в центре куба;
— диагонали куба имеют одинаковую длину.
Формула. Диагональ куба d 1 через длину ребра a :
Определение. Диагональ грани куба ( d 2) -отрезок, который соединяет противоположные углы грани куба и проходит через центр грани куба.
Формула. Диагональ грани d 2 через длину ребра a :
Определение. Объём куба — это совокупность всех точек в пространстве, ограниченные гранями куба.
Формула. Объём куба через длину ребра a :
Формула. Объём куба через длину диагонали куба d 1:
| V = | d 1 3 |
| 3√ 3 |
Определение. Площадь поверхности куба — это совокупность плоскостей всех граней.
Формула. Площадь поверхности куба через длину ребра a :
Определение. Периметр куба — это совокупность длин всех ребер куба.
Формула. Периметр куба P через длину ребра a :
Куб. Кубики. Форма, грани, ребра, объем куба
Определение. Сферой вписанной в куб называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.
— все шесть граней куба являются касательными плоскостями к вписанной сферы;
— радиус вписанной сферы равен половине длины ребра a .
Формула. Радиус вписанной сферы r через длину ребра a :
| r = | a |
| 2 |
Формула. Объема вписанной сферы V через длину ребра a :
| V = | π a 3 |
| 6 |
Определение. Сферой описанной вокруг куба называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами куба.
— радиус описанной сферы равен половине длины диагонали ( d 1) куба.
Формула. Радиус описанной сферы R через длину ребра a :
| R = | a √ 3 |
| 2 |
Формула. Объема сферы описанной вокруг куба V через длину ребра a :
| V = | π a 3 √ 3 |
| 2 |
Свойства куба
1. В куб можно вписать тетраэдр так, чтобы все четыре вершины тетраэдра лежали на четырех вершинах куба, а все шесть ребер тетраэдра будут лежать на шести гранях куба и ребра будут равны диагонали грани куба.
2. В куб можно вписать правильный шестиугольник так, что все шесть вершин лежат в центрах граней куба.
Координаты вершин куба
1. Координаты вершин куба со стороной a и вершиной D в начале декартовой системы координат так, что ребра этой вершины лежат на осях координат:
A( a , 0, 0), B( a , a , 0), C(0, a , 0), D(0, 0, 0),
E( a , 0, a ), F( a , a , a ), G(0, a , a ), H(0, 0, a ).
2. Координаты вершин куба с длиной стороны 2 a , у которого центр куба находится в начале декартовой системы координат так, что ребра куба параллельны осям координат:
A( a , — a , — a ), B( a , a , — a ), C(- a , a , — a ), D(- a , — a , — a ),
E( a , — a , a ), F( a , a , a ), G(- a , a , a ), H(- a , — a , a ).
Определение. Единичный куб — это куб, у которого длина ребер равна единице.
Пересечение куба плоскостью
1. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр куба и центры двух противоположных граней, то в сечении будет квадрат, длина стороны которого будет равна длине ребра куба. Эта плоскость делит куб два равных прямоугольных параллелепипеда.
2. Если пересечь куб с ребром a плоскостью, проходящей через центр куба и два параллельных ребра, то в сечении будет прямоугольник со сторонами a и a √ 2 , площадью сечения a 2 √ 2 . Эта плоскость делит куб две равные призмы.
3. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр и середины шести граней, то в сечении будет правильный шестиугольник со стороной a √ 2 /2, площадью сечения a 2 (3√ 3 )/4. У куба одна из диагоналей (FC) каждой грани, что пересекаются, перпендикулярна стороне шестиугольника.
4. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через три вершины куба, то в сечении будет правильный треугольник со стороной a √ 2 , площадью сечения a 2 √ 3 /2 и объемом большей части — 5 a 3 /6 и меньшей — a 3 /6. Одна из диагоналей куба (EC) перпендикулярна к плоскости сечения и проходит через центр треугольника (M) и делится плоскостью в отношении MC:EМ = 2:1.
Источник: ru.onlinemschool.com
Куб — свойства, виды и формулы
Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.
Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:
-
многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.
Элементы куба
Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.
Грань
Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.
Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.
Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.
Ребро
Линии пересечения сторон называются рёбрами.
Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.
Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.
Вершина
Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.
Центр грани
Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.
Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.
Центр куба
Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.
Это есть центр симметрии куба.
Ось куба
Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.
Диагональ куба
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.
Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:
Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.
Диагональ куба — одна из осей симметрии.
Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.
Диагональ грани куба
Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:
Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.
Объем куба
Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:
Периметр куба
Сумма длин всех рёбер равна:
Площадь поверхности
Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:
Сфера, вписанная в куб
Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.
Радиус равен половине ребра:
Сфера, описанная вокруг куба
Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:
Координаты вершин куба
В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.
Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:
Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).
Свойства куба
Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.
Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.
Прочие свойства:
- у куба все грани равны, являются квадратами;
- у куба все рёбра равны;
- один центр и несколько осей симметрии.
Источник: sprint-olympic.ru
Что такое куб: определение, свойства, формулы
В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).
Содержание скрыть
- Определение куба
- Свойства куба
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Диагональ
- Диагональ грани
- Площадь полной поверхности
- Периметр ребер
- Объем
- Радиус описанного вокруг шара
- Радиус вписанного шара
Определение куба
Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.
Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.
Свойства куба
Свойство 1
Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:
Свойство 2
Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.
Свойство 3
Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.
Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA1B1B является прямым.
Формулы для куба
Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:
Диагональ
Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.
Диагональ грани
Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.
Площадь полной поверхности
Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.
Периметр ребер
Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.
Объем
Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.
Радиус описанного вокруг шара
Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.
Радиус вписанного шара
Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.
Публикации по теме:
- Нахождение площади квадрата: формула и примеры
- Нахождение площади прямоугольника: формула и пример
- Нахождение площади параллелограмма: формула и примеры
- Нахождение площади эллипса: формула и пример
- Нахождение площади выпуклого четырехугольника: формула и пример
- Нахождение периметра трапеции: формула и задачи
- Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи
- Нахождение длины окружности: формула и задачи
- Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике
- Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
- Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
- Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности куба: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности цилиндра: формула и задачи
- Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
- Нахождение радиуса круга: формула и примеры
- Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры
- Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи
- Нахождение площади правильной пирамиды: формулы
- Теорема о внешнем угле треугольника: формулировка и задачи
- Теорема Чевы: формулировка и пример с решением
- Геометрическая фигура: треугольник
- Признаки равенства треугольников
- Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи
- Определение и свойства медианы треугольника
- Свойства биссектрисы равнобедренного треугольника
- Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
- Свойства биссектрисы равностороннего треугольника
- Свойства высоты прямоугольного треугольника
- Свойства высоты равностороннего треугольника
- Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности
- Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности
- Что такое окружность: определение, свойства, формулы
- Что такое круг: определение, свойства, формулы
- Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
- Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции
- Свойства прямоугольной трапеции
- Нахождение высоты трапеции: формулы и примеры задач
- Что такое средняя линия треугольника
- Что такое средняя линия трапеции
- Что такое средняя линия четырехугольника
- Нахождение объема шарового сегмента
- Нахождение площади шарового сектора
- Нахождение объема шарового сектора
- Нахождение площади поверхности усеченного конуса: формулы
- Нахождение объема усеченного конуса
- Что такое цилиндр: определение, элементы, виды, варианты сечения
- Что такое параллелепипед: определение, элементы, виды, свойства
- Что такое призма: определение, элементы, виды, варианты сечения
- Основные свойства призмы
Источник: microexcel.ru