Серебряное сечение что это такое

СЕРЕБРЯНОЕ СЕЧЕНИЕ Работу подготовила ученица 7 класса «В» ГБОУ Гимназии №1257. Соколова Ксения. Научный руководитель: Заесёнок Вера Павловна.

ЗаключениеВывод: в процессе проведенного исследования я узнала, что существует два различных значения «серебряного сечения», убедилась, что оба эти значения можно найти в живописи, в архитектуре, в литературе. То есть моя гипотеза о том, что «серебряное сечение» встречается в разных областях искусства, его присутствие мы можем обнаружить в окружающем нас мире, полностью подтвердилась. Используя созданные мною «серебряные» циркули, я смогла найти несколько своих примеров применения серебряного сечения в архитектуре. Убедились, что оба значения «серебряного сечения» практически равноценны. Считаю, что полученные мною знания, можно использовать в художественном творчестве, дизайне, оформительстве.

Источник: vdocuments.site

Число Фибоначчи = 1.618. Объяснение математического смысла золотого сечения

Соотношение серебра — Silver ratio

«Серебряный треугольник» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Треугольник Кеплера.

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найдите источники: «Серебряная пропорция» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( Апрель 2016 г. ) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Серебряный прямоугольник

• Список номеров
• Иррациональные числа

Соотношение серебра в восьмиугольнике

В математика, две величины находятся в соотношение серебра (или же серебряная середина) [1] [2] если соотношение Отношение меньшего из этих двух величин к большему количеству равно отношению большего количества к сумме меньшего количества и вдвое большего количества (см. ниже). Это определяет соотношение серебра как иррациональный математическая константа, значение которой равно единице плюс квадратный корень из 2 составляет приблизительно 2,4142135623. Его название является намеком на Золотое сечение; аналогично тому, как золотое сечение является ограничивающим соотношением последовательных Числа Фибоначчи, соотношение серебра является предельным соотношением последовательных Числа Пелла. Соотношение серебра обозначается δS .

Математики изучали соотношение серебра со времен греков (хотя, возможно, до недавнего времени не давая специального названия) из-за его связи с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратные треугольные числа, Числа Пелла, восьмиугольники и тому подобное.

Описанное выше отношение можно выразить алгебраически:

2 + б а = а б ≡ δ S < displaystyle 2 + < frac > = < frac > Equiv delta _ >

Числа Фибоначчи и тайна Золотого сечения

Соотношение серебра также можно определить с помощью простого непрерывная дробь [2; 2, 2, 2, . ]:

В сходящиеся этой непрерывной дроби ( 2 / 1 , 5 / 2 , 12 / 5 , 29 / 12 , 70 / 29 , . ) являются отношениями последовательных чисел Пелла. Эти дроби обеспечивают точное рациональные приближения серебряного отношения, аналогично аппроксимации золотого сечения отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Серебряный прямоугольник соединен с обычным восьмиугольник. Если правильный восьмиугольник разделен на две равнобедренные трапеции и прямоугольник, то прямоугольник представляет собой серебряный прямоугольник с соотношением сторон 1: δS , а 4 стороны трапеции находятся в соотношении 1: 1: 1: δS . Если длина ребра правильного восьмиугольника равна т , то размах восьмиугольника (расстояние между противоположными сторонами) равен δSт , а площадь восьмиугольника равна 2δSт 2 . [3]

• 1 Расчет
• 2 Характеристики

• 2.1 Теоретико-числовые свойства
• 2.2 Полномочия
• 2.3 Тригонометрические свойства

Расчет

Для сравнения две величины а, б с а > б > 0 находятся в Золотое сечение φ если,

Однако они в соотношение серебра δS если,

2 + б а = а б = δ S < displaystyle 2 + < frac > = < frac > = delta _ >

Умножение на δS и перестановка дает

δ S 2 − 2 δ S − 1 = 0. < displaystyle < delta _ > ^ -2 delta _ -1 = 0.>

С использованием квадратичная формула, можно получить два решения. Потому что δS это отношение положительных величин, оно обязательно положительно, поэтому,

δ S = 1 + 2 = 2.41421356237 … < displaystyle delta _ = 1 + < sqrt > = 2,41421356237 dots>

Характеристики

Если от серебряного прямоугольника отрезать два самых больших квадрата возможных квадратов, останется серебряный прямоугольник, с которым процесс может быть повторен .

Серебряные спирали в серебряном прямоугольнике

Теоретико-числовые свойства

Соотношение серебра равно Число Писот – Виджаярагхаван (Номер PV), как его сопряженное 1 − √ 2 = −1 / δS ≈ −0.41 имеет абсолютное значение меньше 1. Фактически это второе по величине квадратичное число PV после золотого сечения. Это означает расстояние от δ п
S к ближайшему целому числу 1 / δ п
S ≈ 0.41 п . Таким образом, последовательность дробные части из δ п
S , п = 1, 2, 3, . (взятые как элементы тора) сходится. В частности, эта последовательность не равнораспределенный мод 1.

Полномочия

Младшие степени отношения серебра равны

δ S − 1 = 1 δ S − 2 = [ 0 ; 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … ] ≈ 0.41421 < displaystyle delta _ ^ = 1 delta _ -2 = [0; 2,2,2,2,2, точки] приблизительно 0,41421> δ S 0 = 0 δ S + 1 = [ 1 ] = 1 < displaystyle delta _ ^ = 0 delta _ + 1 = [1] = 1> δ S 1 = 1 δ S + 0 = [ 2 ; 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … ] ≈ 2.41421 < displaystyle delta _ ^ = 1 delta _ + 0 = [2; 2,2,2,2,2, точки] приблизительно 2,41421> δ S 2 = 2 δ S + 1 = [ 5 ; 1 , 4 , 1 , 4 , 1 , … ] ≈ 5.82842 < displaystyle delta _ ^ = 2 delta _ + 1 = [5; 1,4,1,4,1, dots] приблизительно 5,82842> δ S 3 = 5 δ S + 2 = [ 14 ; 14 , 14 , 14 , … ] ≈ 14.07107 < displaystyle delta _ ^ = 5 delta _ + 2 = [14; 14,14,14, dots] приблизительно 14.07107> δ S 4 = 12 δ S + 5 = [ 33 ; 1 , 32 , 1 , 32 , … ] ≈ 33.97056 < displaystyle delta _ ^ = 12 delta _ + 5 = [33; 1,32,1,32, точки] приблизительно 33.97056>

Силы продолжаются по шаблону

δ S п = K п δ S + K п − 1 < displaystyle delta _ ^ = K_ delta _ + K_ >

K п = 2 K п − 1 + K п − 2 < displaystyle K_ = 2K_ + K_ >

Например, используя это свойство:

δ S 5 = 29 δ S + 12 = [ 82 ; 82 , 82 , 82 , … ] ≈ 82.01219 < displaystyle delta _ ^ = 29 delta _ + 12 = [82; 82,82,82, dots] приблизительно 82,01219>

С помощью K0 = 1 и K1 = 2 в качестве начальных условий a Бине -подобная формула получается из решения рекуррентного соотношения

K п = 2 K п − 1 + K п − 2 < displaystyle K_ = 2K_ + K_ >

K п = 1 2 2 ( δ S п + 1 − ( 2 − δ S ) п + 1 ) < displaystyle K_ = < frac >>> left ( delta _ ^ — <(2- delta _ )> ^ right)>

Тригонометрические свойства

Соотношение серебра тесно связано с тригонометрическими отношениями для π / 8 = 22.5° .

Итак, площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны а дан кем-то

А = 2 а 2 детская кроватка ⁡ π 8 = 2 ( 1 + 2 ) а 2 ≃ 4.828427 а 2 . < displaystyle A = 2a ^ cot < frac < pi>> = 2 (1 + < sqrt >) a ^ simeq 4.828427a ^ . >

Размеры бумаги и серебряные прямоугольники

Для √ 2 прямоугольник, как в оригами, см. ISO 216 § Применение.

Прямоугольник с соотношением сторон серебра (1: √ 2 , приблизительно 1: 1.4142135 в десятичной системе) иногда называют серебряный прямоугольник по аналогии с золотые прямоугольники. В размеры бумаги под ISO 216 такие прямоугольники. 1: √ 2 прямоугольники (прямоугольники, имеющие форму бумаги ISO 216) обладают тем свойством, что при разрезании прямоугольника пополам по его длинной стороне получаются два меньших прямоугольника с таким же соотношением сторон.

Удаление из такого прямоугольника максимально возможного квадрата оставляет прямоугольник с пропорциями 1 : ( √ 2 − 1) который совпадает с (1 + √ 2 ) : 1 , соотношение серебра. Удаление самого большого квадрата из полученного прямоугольника снова оставляет квадрат с соотношением сторон 1: √ 2 . [4] Удаление максимально возможного квадрата из любого типа серебряного прямоугольника дает серебряный прямоугольник другого типа, а затем повторение процесса еще раз дает прямоугольник исходной формы, но меньший линейный коэффициент 1 + √ 2 . [3]

Смотрите также

• Металлические средства
• Мозаика Амманна – Бенкера

Рекомендации

1. ^Вера В. де Спинадел (1999). Семейство металлических средств, Висмат 1 (3) из Математического института им. Сербская академия наук и искусств.
2. ^ де Спинадел, Вера В. (1998). Уильямс, Ким (ред.). «Металлические средства и дизайн». Nexus II: архитектура и математика. Fucecchio (Флоренция): Edizioni dell’Erba: 141–157.
3. ^ аб Капуста, Янош (2004), «Квадрат, круг и золотая пропорция: новый класс геометрических построений» (PDF) , Forma, 19: 293–313
4. .
5. ^ Листер, Дэвид. «Прямоугольник А4». Список Lister. Англия: Британское общество оригами . Получено 2009-05-06 .

дальнейшее чтение

• Буитраго, Антония Редондо (2008). «Многоугольники, диагонали и среднее значение бронзы», Nexus Network Journal 9,2: Архитектура и математика, стр.321-2. Springer Science Введение в непрерывные дроби: серебряные средства «, Числа Фибоначчи и золотое сечение.
• «Серебряный прямоугольник и его последовательность «в Тартапелаге Джорджио Пьетрокола»

• Алгебраическое целое число
• Чебышевские узлы
• Конструируемое число
• Постоянная Конвея
• Целое число Эйзенштейна
• Целое гауссово
• Золотое сечение ( φ )
• Кольцо Куммера
• Число Перрона
• Число Писот – Виджаярагхаван
• Квадратичное иррациональное число
• Рациональные числа (ℚ)
• Корень единства
• Номер Салема
• Соотношение серебра ( δ S )
• √ 2
• √ 3
• √ 5
• 3 √ 2
• 12 √ 2

• Дивиденды : Делитель = Частное

• Числитель / знаменатель = частное

• Чайтина ( Ω )
• Liouville
• основной ( ρ )
• Логарифм 2
• Гаусса ( грамм )
• Корень двенадцатой степени из 2
• Апери ( ζ(3) )
• Пластик ( ρ )
• Корень квадратный из 2
• Сверхзолотое соотношение ( ψ )

• Эрдеш – Борвейн ( E )
• Золотое сечение ( φ )
• Корень квадратный из 3
• Корень квадратный из 5
• Соотношение серебра ( δS )
• Эйлера ( е )
• число Пи ( π )

• Шизофреник
• Трансцендентный
• Тригонометрический

Basis of this page is in Wikipedia. Text is available under the CC BY-SA 3.0 Unported License. Non-text media are available under their specified licenses. Wikipedia® is a registered trademark of the Wikimedia Foundation, Inc. iiwiki.ru is an independent company and has no affiliation with Wikimedia Foundation.

Источник: iiwiki.ru

Соотношение серебра — Silver ratio

«Серебряный треугольник» перенаправляется сюда. Для использования в других целях см. Треугольник Кеплера.

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найдите источники: «Серебряная пропорция» – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( Апрель 2016 г. ) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Серебряный прямоугольник

• Список номеров
• Иррациональные числа

Соотношение серебра в восьмиугольнике

В математика, две величины находятся в соотношение серебра (или же серебряная середина) [1] [2] если соотношение Отношение меньшего из этих двух величин к большему количеству равно отношению большего количества к сумме меньшего количества и вдвое большего количества (см. ниже). Это определяет соотношение серебра как иррациональный математическая константа, значение которой равно единице плюс квадратный корень из 2 составляет приблизительно 2,4142135623. Его название является намеком на Золотое сечение; аналогично тому, как золотое сечение является ограничивающим соотношением последовательных Числа Фибоначчи, соотношение серебра является предельным соотношением последовательных Числа Пелла. Соотношение серебра обозначается δS .

Математики изучали соотношение серебра со времен греков (хотя, возможно, до недавнего времени не давая специального названия) из-за его связи с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратные треугольные числа, Числа Пелла, восьмиугольники и тому подобное.

Описанное выше отношение можно выразить алгебраически:

2 + б а = а б ≡ δ S < displaystyle 2 + < frac > = < frac > Equiv delta _ >

Соотношение серебра также можно определить с помощью простого непрерывная дробь [2; 2, 2, 2, . ]:

В сходящиеся этой непрерывной дроби ( 2 / 1 , 5 / 2 , 12 / 5 , 29 / 12 , 70 / 29 , . ) являются отношениями последовательных чисел Пелла. Эти дроби обеспечивают точное рациональные приближения серебряного отношения, аналогично аппроксимации золотого сечения отношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Серебряный прямоугольник соединен с обычным восьмиугольник. Если правильный восьмиугольник разделен на две равнобедренные трапеции и прямоугольник, то прямоугольник представляет собой серебряный прямоугольник с соотношением сторон 1: δS , а 4 стороны трапеции находятся в соотношении 1: 1: 1: δS . Если длина ребра правильного восьмиугольника равна т , то размах восьмиугольника (расстояние между противоположными сторонами) равен δSт , а площадь восьмиугольника равна 2δSт 2 . [3]

• 1 Расчет
• 2 Характеристики

• 2.1 Теоретико-числовые свойства
• 2.2 Полномочия
• 2.3 Тригонометрические свойства

Расчет

Для сравнения две величины а, б с а > б > 0 находятся в Золотое сечение φ если,

Однако они в соотношение серебра δS если,

2 + б а = а б = δ S < displaystyle 2 + < frac > = < frac > = delta _ >

Умножение на δS и перестановка дает

δ S 2 − 2 δ S − 1 = 0. < displaystyle < delta _ > ^ -2 delta _ -1 = 0.>

С использованием квадратичная формула, можно получить два решения. Потому что δS это отношение положительных величин, оно обязательно положительно, поэтому,

δ S = 1 + 2 = 2.41421356237 … < displaystyle delta _ = 1 + < sqrt > = 2,41421356237 dots>

Характеристики

Если от серебряного прямоугольника отрезать два самых больших квадрата возможных квадратов, останется серебряный прямоугольник, с которым процесс может быть повторен .

Серебряные спирали в серебряном прямоугольнике

Теоретико-числовые свойства

Соотношение серебра равно Число Писот – Виджаярагхаван (Номер PV), как его сопряженное 1 − √ 2 = −1 / δS ≈ −0.41 имеет абсолютное значение меньше 1. Фактически это второе по величине квадратичное число PV после золотого сечения. Это означает расстояние от δ п
S к ближайшему целому числу 1 / δ п
S ≈ 0.41 п . Таким образом, последовательность дробные части из δ п
S , п = 1, 2, 3, . (взятые как элементы тора) сходится. В частности, эта последовательность не равнораспределенный мод 1.

Полномочия

Младшие степени отношения серебра равны

δ S − 1 = 1 δ S − 2 = [ 0 ; 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … ] ≈ 0.41421 < displaystyle delta _ ^ = 1 delta _ -2 = [0; 2,2,2,2,2, точки] приблизительно 0,41421> δ S 0 = 0 δ S + 1 = [ 1 ] = 1 < displaystyle delta _ ^ = 0 delta _ + 1 = [1] = 1> δ S 1 = 1 δ S + 0 = [ 2 ; 2 , 2 , 2 , 2 , 2 , … ] ≈ 2.41421 < displaystyle delta _ ^ = 1 delta _ + 0 = [2; 2,2,2,2,2, точки] приблизительно 2,41421> δ S 2 = 2 δ S + 1 = [ 5 ; 1 , 4 , 1 , 4 , 1 , … ] ≈ 5.82842 < displaystyle delta _ ^ = 2 delta _ + 1 = [5; 1,4,1,4,1, dots] приблизительно 5,82842> δ S 3 = 5 δ S + 2 = [ 14 ; 14 , 14 , 14 , … ] ≈ 14.07107 < displaystyle delta _ ^ = 5 delta _ + 2 = [14; 14,14,14, dots] приблизительно 14.07107> δ S 4 = 12 δ S + 5 = [ 33 ; 1 , 32 , 1 , 32 , … ] ≈ 33.97056 < displaystyle delta _ ^ = 12 delta _ + 5 = [33; 1,32,1,32, точки] приблизительно 33.97056>

Силы продолжаются по шаблону

δ S п = K п δ S + K п − 1 < displaystyle delta _ ^ = K_ delta _ + K_ >

K п = 2 K п − 1 + K п − 2 < displaystyle K_ = 2K_ + K_ >

Например, используя это свойство:

δ S 5 = 29 δ S + 12 = [ 82 ; 82 , 82 , 82 , … ] ≈ 82.01219 < displaystyle delta _ ^ = 29 delta _ + 12 = [82; 82,82,82, dots] приблизительно 82,01219>

С помощью K0 = 1 и K1 = 2 в качестве начальных условий a Бине -подобная формула получается из решения рекуррентного соотношения

K п = 2 K п − 1 + K п − 2 < displaystyle K_ = 2K_ + K_ >

K п = 1 2 2 ( δ S п + 1 − ( 2 − δ S ) п + 1 ) < displaystyle K_ = < frac >>> left ( delta _ ^ — <(2- delta _ )> ^ right)>

Тригонометрические свойства

Соотношение серебра тесно связано с тригонометрическими отношениями для π / 8 = 22.5° .

Итак, площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны а дан кем-то

А = 2 а 2 детская кроватка ⁡ π 8 = 2 ( 1 + 2 ) а 2 ≃ 4.828427 а 2 . < displaystyle A = 2a ^ cot < frac < pi>> = 2 (1 + < sqrt >) a ^ simeq 4.828427a ^ . >

Размеры бумаги и серебряные прямоугольники

Для √ 2 прямоугольник, как в оригами, см. ISO 216 § Применение.

Прямоугольник с соотношением сторон серебра (1: √ 2 , приблизительно 1: 1.4142135 в десятичной системе) иногда называют серебряный прямоугольник по аналогии с золотые прямоугольники. В размеры бумаги под ISO 216 такие прямоугольники. 1: √ 2 прямоугольники (прямоугольники, имеющие форму бумаги ISO 216) обладают тем свойством, что при разрезании прямоугольника пополам по его длинной стороне получаются два меньших прямоугольника с таким же соотношением сторон.

Удаление из такого прямоугольника максимально возможного квадрата оставляет прямоугольник с пропорциями 1 : ( √ 2 − 1) который совпадает с (1 + √ 2 ) : 1 , соотношение серебра. Удаление самого большого квадрата из полученного прямоугольника снова оставляет квадрат с соотношением сторон 1: √ 2 . [4] Удаление максимально возможного квадрата из любого типа серебряного прямоугольника дает серебряный прямоугольник другого типа, а затем повторение процесса еще раз дает прямоугольник исходной формы, но меньший линейный коэффициент 1 + √ 2 . [3]

Смотрите также

• Металлические средства
• Мозаика Амманна – Бенкера

Источник: wikinlu.ru