Шпинель значение камня магические свойства

Область определения функции

Математика — наука точная. Поэтому у каждого упражнения есть решение, у каждого числа — свой знак, а у каждой функции — область определения. О последней и поговорим: узнаем, как найти область определения функции.

30 декабря 2020

· Обновлено 9 декабря 2022

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Талисман на удачу и деньги. Шпинель камень магические и лечебные свойства/Камень фортуны

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

• Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.
2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.
3. Если у промежутка нет правой границы, записываем так: +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.
4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Демоурок по математике
Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.
Пройти урок

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

Черная шпинель. Литотерапия. Олег Смирнов

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x 2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

• Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(y) = (−∞, +∞) или D(y) = R.
• Областью определения функции y = 3 √9 является множество R.

Для тех, кто учится в 7 классе, материала выше достаточно, чтобы подготовиться к контрольной работе. А вот старшеклассникам нужно разбираться в теме несколько глубже — поэтому продолжаем.

Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Записаться на интенсив

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

• Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
• Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть n = 2m+1, при этом m принадлежит к N, то область определения корня — множество всех действительных чисел:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, то равняться нулю не может. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решим квадратное уравнение x 2 + 4x + 3 = 0. Находим дискриминант:

D = 16 — 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола f(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 < 0), а другая часть — выше оси (неравенство x 2 + 4x + 3 >0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x 2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x 2 + 4x + 3 < 0.

Ответ: область определения: D(f) = (−∞, -3) ∪ (−1, +∞).

Если в знаменателе функции стоит выражение, зависящее от х, то для того, чтобы найти область определения данной функции, нам нужно исключить точки, которые обращают знаменатель в ноль.

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = x a , то есть, f(x) = x a , где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

• Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
• Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
• Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
• Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = x a определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 0 0 . А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x 0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Область определения функций y = x 5 , y = x 12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.
2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
3. Область определения функции y = x −2 , как и функции y = x −5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
4. Область определения степенных функций y = x -√19 , y = x -3e , — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = a x , где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

• y = e x
• y = (√15) x
• y = 13 x .

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

• D (ln) = (0, +∞) и D (lg) = (0, +∞).

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

• y = log7x
• y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

• Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
• Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
• Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Источник: skysmart.ru

«Аленький цветок» мира минералов. РУБЕЛЛИТ

Рубеллит — редкая и востребованная разновидность турмалина с романтическими красными и розовыми оттенками. Кристалл турмалина часто ассоциируется с рубинами, хотя это разные драгоценные камни.

Розовый турмалин и рубеллит — это одно и то же? Ответы разные, но большинство скажет, что «розовый турмалин» — это другое название рубеллита. Однако некоторые редкие розовые оттенки проявляются и в других разновидностях турмалина.

Несмотря на это, рубеллит известен своими красными оттенками. Но знаете ли вы, что красный цвет — самый редкий среди драгоценных камней? Рубеллит, наряду с рубином и красной шпинелью — единственный драгоценный камень с такой чистой, насыщенной темно-красной гаммой! Самые востребованные и ценные рубеллиты — Сибирские

Уже чувствуете себя очарованными? Тогда читайте далее о свойствах, ценности, истории рубеллита!

Что такое турмалин рубеллит? Рубеллит — полудрагоценный камень, хотя он имеет схожие оттенки и этимологию с драгоценным камнем рубином. Сходство кристалла с рубином делает его более доступной заменой рубину.

Давайте проясним — в чём разница между рубином и рубеллитом?

Рубин слева, рубеллит справа

Рубеллит исторически ошибочно принимали за рубин. У них есть сходство — цвета от красного до розового, названия, которые отражают эти цвета, и великолепие. Но это все, что касается сходства. В отличие от турмалина рубеллита, рубин является драгоценной разновидностью корунда. Хотя оба камня восходят к глубокой древности, рубин занимает более важное место в истории.

Их минеральные свойства также различаются.

Рубеллит из Бирмы

Рубины занимают 9-е место по шкале твердости минералов Мооса, а рубеллиты — от 7 до 7,5. Типы включений в обоих камнях достаточно различны для идентификации. В то время, как рубины известны своими «шелковыми» включениями игольчатого рутила, рубеллиты известны жидкими включениями, которые могут образовывать нитевидные изгибы или паутины, называемые «трихитами».

Рубеллит с большим количеством включений
Рубеллит с эффектом «кошачий глаз»:
Продолжая изучение минералогии, далее мы углубимся в минеральные характеристики рубеллита.

Особенности рубеллита

Минерал рубеллит относится к турмалиновому ряду эльбаитов, группе боросиликатов натрия, алюминия и лития. Эльбаиты представляют собой самую красочную группу и содержат большинство разновидностей ювелирного качества. Многоцветный эльбаит

Эдьбаит, Таджикистан
Однако большинство рубеллитов представляют собой эльбаитовые турмалины.

Как упоминалось выше, некоторые геммологи отличают розовый турмалин от рубеллита. В целом предполагаемая разница между рубеллитом и розовым турмалином заключается в том, что цвет рубеллита гораздо более насыщенный.

Ярко-розовый турмалин
Турмалин рубеллит

Кроме того, некоторые также утверждают, что «рубеллит» относится только к красным турмалинам, которые сохраняют красный цвет при различных типах освещения.

Очень красивый срез турмалина с переходами от розового до вишнево-красного цвета из знаменитых малханских пегматитов в России

Свойства рубеллита:

Твердость по Моосу: 7-7,5
Цвет: Преимущественно насыщенные оттенки красного, розового; Может быть фиолетово-красным, коричневато-красным, оранжево-красным
Кристаллическая структура: шестиугольная (треугольная)
Блеск: стеклянный (стеклянный)
Прозрачность: от прозрачного до непрозрачного
Люминесценция: Флуоресценция иногда присутствует, но слабая — от красного до фиолетового в SW-UV и LW-UV.
Плеохроизм: присутствует от бесцветного до средне-розового/светло-розового или от розовато-красного до темно-красного.
Оптические эффекты: иногда переливчатость, изменение цвета.

История

Рубин Цезаря

Помните, упоминание о том, что рубеллит исторически ошибочно принимали за рубин? Некоторые из этих рубеллитов даже оказались в королевских драгоценностях! Например, Петр Великий заказал рубиновые украшения для императорского двора, которые в итоге оказались украшениями с рубеллитом. Другой известный пример — «Рубин Цезаря». Записи об этом драгоценном камне весом 255,75 карата в форме грозди малины или винограда относятся к 1500-м годам, когда он принадлежал французскому королю Карлу IX. Впрочем, эту увлекательную историю я расскажу в следующий раз&#128521;

Со времен Древней Греции и Рима рубеллит путали с рубином, голубой турмалин с сапфиром, зеленый турмалин с изумрудом.

Примерно в 1800-х годах турмалин был окончательно идентифицирован как отдельный минерал. Первое известное упоминание слова «рубеллит» датируется 1794 годом. Название происходит от латинского rubellus, что означает «красноватый».

Цвет

Рубеллиты могут иметь цвет от розового до красного, с возможным фиолетовым, оранжевым или коричневым оттенком. Цвет зависит от примесей марганца или железа, а центры окраски естественного облучения иногда дают розовый цвет. Цвет часто меняется на персиковый при свете лампы накаливания.

Розовый турмалин с оттенком персикового цвета

Некоторые геммологи относят к категории «настоящих» рубеллитов турмалины только от красного до красновато-фиолетового цвета со средней и темной насыщенностью.

Красно-фиолетовый цвет турмалина

Чисто красные камни без коричневых оттенков и небольшого изменения цвета являются наиболее ценными. Разница значений чисто красного рубеллита по сравнению с красновато-фиолетовым рубеллитом зависит от лабораторной оценки.

Алый турмалин в форме сахарной головы в окружении рубинов

Рубеллиты в основном подвергают огранке. Образцы с большим количеством включений вырезают в виде кабошонов. Особенно это касается турмалинов с эффектом «кошачий глаз».

Лечение и улучшения рубеллитов

Термическая обработка и облучение являются обычными для рубеллитов. Часто ювелиры нагревают камень до бесцветного состояния, а затем облучают его до рубиново-красного цвета. В других случаях бледно-розовый рубеллит облучают, чтобы получить рубиново-красный цвет.

Брошь JAR. Фото Christie’s

Эти методы лечения обычно не слишком снижают стоимость, но их следует обозначать в сертификате.

Некоторые рубеллиты могут подвергаться обработке, которая заключается в заполнением полостей и трещин для увеличения прочности и улучшения прозрачности.

Два признака обработанного рубеллита включают одинаковую окраску нескольких рубеллитов — редкость для необработанных драгоценных камней — и отсутствие изменения цвета.

Что касается имитаторов, то иногда в качестве рубеллита продают окрашенный кварц или синтетическую шпинель.

Источник: www.liveinternet.ru