С точки зрения авторов, изучение этой темы в средней школе (а тем более в 9 классе) не оправданно по следующим причинам:
1. Комбинаторика и теория вероятностей являются изолированными разделами математики, имеют своеобразную логику и методику решения задач.
2. Эти разделы практически не связаны с изучаемым курсом алгебры, не подкреплены повседневной практикой и будут очень быстро забыты.
3. Даже далеко не в каждом техническом вузе необходимо изучение таких дисциплин.
4. Вряд ли средний девятиклассник в состоянии освоить эти разделы математики. Разумнее потратить время, отведенное на такие темы, для более детального изучения основных разделов алгебры 9 класса.
Тем не менее необходимо рассмотреть эти темы.
Комбинаторикой называют область математики, изучающую вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов. Первоначально комбинаторика (и теория вероятностей) возникла в XVI в. в связи с распространением различных азартных игр. В настоящее время комбинаторика используется в теории информации (кодировка и декодировка), линейном программировании (составление расписаний уроков, грузоперевозок) и т. д.
Комбинаторика: перестановка, размещение и сочетание | Математика | TutorOnline
Сначала рассмотрим некоторые задачи комбинаторики.
Сколько существует двузначных чисел?
При образовании чисел используются десять цифр: 0, 1, 2, . 9. Так как число двузначное, то число десятков может принимать одно из девяти значений: 1, 2, 3, . 9. Число единиц принимает те же значения и еще 0 (10 вариантов).
Если цифра десятков 1, то цифра единиц может быть любой из десяти: 0, 1, 2, . 9. Если цифра десятков 2, то цифра единиц вновь может быть любой из десяти: 0, 1, 2, . 9 и т.д.
Тогда получаем, что возможно 9 · 10 = 90 вариантов (чисел).
Разумеется, их легко выписать: 10, 11, 12, . 99.
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
Очевидно, что на первом (соответственно, и на последнем) месте может стоять любая цифра (кроме нуля) — 9 вариантов. На втором (соответственно, и на предпоследнем) месте может стоять любая цифра — 10 вариантов. На третьем месте (в середине) также может стоять любая цифра — 10 вариантов.
Тогда получаем, что возможно 9 · 10 · 10 = 900 вариантов (чисел).
Из рассмотренных примеров можно сформулировать комбинаторное правило умножения. Пусть имеем n элементов и надо выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать n2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать n3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все к элементов, равно произведению n1 · n2 · n3 · . · nk.
В спортивных соревнованиях участвуют 10 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовые медали, если каждая команда может получить только одну медаль?
Начнем распределять медали с наименее ценной. Бронзовую медаль может получить одна из 10 команд (10 вариантов). После этого серебряную медаль получит одна из оставшихся 9 команд (9 вариантов). Наконец, золотую медаль получает одна из оставшихся 8 команд (8 вариантов).
Задачи на комбинаторику #5
Следовательно, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали, равно 10 · 9 · 8 = 720.
В 9 классе изучаются 10 предметов. Во вторник должны быть проведены 6 различных уроков. Сколькими способами можно составить расписание занятий на вторник?
По аналогии с примерами 1-4 на первом уроке изучается любой из 10 предметов, на втором уроке — любой из оставшихся 9 предметов, на третьем уроке — любой из оставшихся 8 предметов и т.д.
Таким образом, расписание можно составить 10 · 9 · 8 · 7· 6 · 5 = 151 200 способами.
III. Контрольные вопросы
1. Какие вопросы изучает комбинаторика?
2. Области применения комбинаторики.
3. Комбинаторное правило умножения.
IV. Задание на уроке
№ 714; 716; 718 (а); 719 (б); 721; 724; 725; 728.
V. Задание на дом
№ 715; 717; 718 (б); 719 (а); 720; 722; 723; 726; 727.
VI. Подведение итогов урока
Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.
Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.
Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.
Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.
Источник: compendium.school
Алгебра – 11 класс. Сочетания и размещения
Урок и презентация на тему: «Сочетания и размещения. Примеры»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.
При подсчете вероятности события, иногда бывает довольно сложно подсчитать общее количество исходов. На данном уроке мы займемся способами подсчета количества исходов.
На прошлом уроке мы повторили правило умножения. В курсе алгебры 9 класса мы изучали некоторые понятия, давайте повторим некоторые из них.
Определение. Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел обозначают n! (n факториал) $n!=1*2*. *(n-1)*n$.
n факториал – состоящий из n множителей.
Заметим важное свойство факториала: $n!= (n-1)!*n$.
Количество перестановок из n элементов можно вычислять, используя следующую теорему:
Теорема. N отличных друг от друга предметов можно расставить по одному на N разных мест ровно N! способами. $P_=N!$.
Где P – количество перестановок из N элементов, без повторений.
Пример.
К Иван Васильевичу пришли гости: Александр, Алексей, Петр и Николай. За столом 5 стульев.
а) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом?
б) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если место Ивана Васильевича известно?
в) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Петр и Николай всегда сидят рядом?
г) Сколькими способами можно рассадить гостей за столом, если Алексей и Александр не могут сидеть рядом?
Решение.
а) Способы которыми можно рассадить гостей и хозяина — это не что иное, как количество перестановок наших гостей возле разных стульев. Воспользуемся теоремой: всего гостей — 5 человек, тогда имеем 5! способов расстановки.
Ответ: 120 способов.
б) Место Иван Васильевича уже известно, тогда гости могут выбрать 4 оставшихся стула, а это 4!=24 способа выбора.
Ответ: 24.
в) Петр и Николай сидят рядом, тогда первый из них может выбрать себе место пятью способами, а вот второму останется выбор только из двух мест — рядом с первым. Остается 3 места для 3 человек: 3!=6 способов. Тогда всего способов: 5*2*6=60.
Ответ: 60.
г) Алексей может выбрать место пятью способами, но вот Александру остается для выбора всего два места, так как рядом с Алексеем он сидеть не может. Тогда способов: 5*2*3!=60.
Ответ: 60.
Пример.
В чемпионате по хоккею участвовало 8 команд, каждая команда сыграла с другой по одной игре. Сколько всего сыграно игр?
Решение.
Данную задачу можно решать различными способами. Начнем с самого очевидного, но не всегда самого простого. Составим таблицу сыгранных игр и непосредственно подсчитаем количество игр.
Команда сама с собой играть не может (закрашенные клетки), тогда у нас остается $64-8=56$ клеток. Игр у нас произошло ровно в два раза меньше, так внизу таблицы могут быть записаны те же результаты, только в обратном порядке в зависимости от победы или поражения. Всего сыграно 28 игр.
Второй способ: Пронумеруем команды. Зная номера команд, можно подсчитать, что первая команда сыграет 7 игр, второй команде уже останется сыграть 6 игр, поскольку она уже сыграла игру с первой командой и так далее, получим: $7+6+5+4+3+2+1=28$.
Внимательно проанализируем нашу задачу: у нас есть 8 команд, в каждой игре участвуют 2 команды. Нам надо найти количество сочетаний или количество игр 8 команд, в каждой игре участвуют 2 команды. Порядок выбора команд совершенно не важен.
Количество сочетаний из n элементов по 2 легко вычисляется по формуле:
Теорема. Для множества, состоящего из n элементов, любые два элемента этого множества (без повторения) могут быть выбраны $frac$ способами.
Иначе говоря, число сочетаний двух объектов (без учета порядка) множества, состоящего из n элементов вычисляется: $C_^2=frac$.
Пример.
Ребята 11 А и 11 Б решили поиграть в шахматы. В 11 А учатся 10 человек, а в 11 Б — 8 человек. Сколькими способами:
а) могут сыграть ребята 11 А между собой?
б) могут сыграть ребята 11 Б между собой?
в) Сколько игр возможно между ребятами 11 А и 11 Б?
г) Сколько всего игр возможно?
Решение.
а) В 11 А учатся 10 человек, в шахматы играют 2 человека. Нам надо найти количество сочетаний из 10 человек по 2, порядок нам в данной задаче не важен. Воспользуемся теоремой: $C_^2=frac=45$.
б) По аналогии с предыдущим примером: $C_^2=frac=28$.
в) Когда играют друг против друга ребята из разных классов, то тут следует считать по правилу умножения. Выбор ученика одного из классов не зависит от выбора ученика другого класса, тогда у нас для 11 А – 10 способов выбора, а для 11 Б – 8 способов. Тогда количество возможных игр: $10*8=80$.
г) Здесь нам не важен ни порядок, ни кто с кем играем, тогда это количество сочетаний из учеников обоих классов по 2: $C_^2=frac=153$.
Часто встречаются задачи, в которых порядок размещения элементов важен, тогда нам следует воспользоваться следующей теоремой.
Теорема. Если множество состоит из n элементов и требуется выбрать два элемента с учетом их порядка, то такой выбор можно провести $n(n-1)$ способами.
Определение. Число всех выборов двух элементов с учетом их порядка из n данных называют числом размещений из n элементов по 2 и обозначается $А_^2$.
Пример.
В классе учится 20 учеников. К доске нужно вызвать двух человек, сколькими способами можно это сделать если:
а) cначала первый ученик должен решить пример на квадратные уравнения, а потом другой ученик — пример на неравенство.
б) ученики могут выйти к доске одновременно.
Решение.
а) В этой задаче порядок важен, тогда $А_^2=20*19=380$.
б) Нам порядок не важен, тогда используем формулу числа сочетаний: $C_^2=frac=190$.
Презентация на тему Основные правила и формулы комбинаторики
Определение комбинаторикиКомбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций (соединений), подчиненных тем или иным условиям, можно составить из принадлежащих данному конечному множеству элементов.При решении задач комбинаторики
- Главная
- Разное
- Основные правила и формулы комбинаторики
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Основные правила и формулы комбинаторики
Шармин Валентин – кандидат физико-математических наук,
доцент, почетный работник высшего профессионального образования РФ
Слайд 2Определение комбинаторики
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о
том, сколько различных комбинаций (соединений), подчиненных тем или иным условиям,
можно составить из принадлежащих данному конечному множеству элементов.
При решении задач комбинаторики используют правила суммы и произведения.
Слайд 3Правило суммы и произведения
Правило суммы. Если некоторый объект A можно
выбрать способами n, а объект B можно выбрать способами m
(не такими, как A), то объект «либо A , либо B» можно выбрать n+m способами.
Правило произведения. Если некоторый объект A можно выбрать n способами, а после каждого такого выбора объект B можно выбрать способами m (независимо от выбора объекта A), то пару объектов «A и B» в указанном порядке можно выбрать n*m способами.
Слайд 4Пример
В магазине бытовой техники имеется 8 видов электрических чайников и
10 видов микроволновых печей. Сколькими способами можно: а) совершить покупку,
состоящую из одного электроприбора;
б) купить чайник и микроволновую печь?
а) Электрический чайник можно выбрать 8 способами, а микроволновую печь – 10 способами. Число способов купить один электроприбор (то есть выбрать либо чайник, либо микроволновую печь), по правилу суммы, равно 8+10=18.
б) Купить чайник и микроволновую печь (то есть выбрать пару объектов) можно, по правилу произведения, способами 8*10=80.
Слайд 5Перестановки
Перестановками из различных элементов называются упорядоченные наборы, содержащие данные элементов.
Таким
образом, одна перестановка отличается от другой только порядком расположения элементов.
Число
перестановок из элементов обозначается символом и находится по формуле:
где
Слайд 6Пример
Сколькими способами можно расставить 7 различных книг на полке?
Каждый способ
расстановки книг отличается от другого способа лишь порядком расположения книг.
Следовательно, число способов равно .
Слайд 7Размещения без повторений
Размещениями из различных элементов по элементов называются упорядоченные
наборы, содержащие элементов из данных .
Одно размещение отличается от
другого либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Число размещений из элементов по обозначается символом и находится по формуле:
Слайд 8Пример
Сколькими способами могут быть распределены золотая, серебряная и бронзовая медали
между 16 командами, участвующими в соревнованиях?
Очевидно, что все возможные тройки
призеров отличаются одна от другой либо составом команд, либо порядком их расположения на первом, втором и третьем местах. Значит, число способов равно
Слайд 9Сочетания
Сочетаниями из различных элементов по элементов называются неупорядоченные наборы, содержащие
элементов из данных.
Сочетания отличаются друг от друга только составом элементов.
Число
сочетаний из элементов по обозначается символом и находится по формуле:
Слайд 10Задачи
Имеется 3 вида конвертов без марок и 9 видов марок
одинаковой стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для
посылки письма?
На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может подняться в гору и потом спуститься с нее, если подъем и спуск: а) могут проходить по любым тропинкам; б) должны проходить по разным тропинкам?
Сколькими способами из 25 членов научного общества учащихся можно выбрать его председателя, заместителя председателя, редактора газеты и секретаря?
В отделе НИИ работают 22 человека. Сколькими способами можно выбрать 3 человек для участия в конференции?
Слайд 11Задачи
Сколькими способами можно разместить на скамейке 9 человек?
Сколько разных
трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4,
5 при условии, что: а) ни одна цифра не повторяется; б) число оканчивается цифрой 3 и все цифры различны?
Слайд 12Задачи
7. Сколько различных «слов» можно образовать при перестановке букв слова
МАТЕМАТИКА?
8. Из 10 различных книг выбирают 4 для посылки.
Сколькими способами это можно сделать?
9. Сколько различных «слов» (не обязательно имеющих смысл) можно образовать, переставляя буквы слова: а) ЗАМОК; б) ЗАМОК, если буква К должна стоять на первом месте?
Слайд 13Задачи
10. Студентам надо сдать 4 экзамена за 12 дней. Сколькими
способами можно составить расписание экзаменов, если в один день не
должно быть двух экзаменов?
11. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из 9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?
12. Имеется 11 наименований товаров. Сколькими способами их можно развезти по трем магазинам следующим образом: 5 наименования – в первый магазин, 4 – во второй, 2 – в третий?
Сколькими способами на шахматной доске можно указать: а) две клетки; б) две клетки одного цвета; в) две клетки разного цвета?
Слайд 14Задачи
Из трех инженеров и девяти экономистов должна быть выбрана комиссия
в составе семи человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия,
если в нее должен войти: а) ровно один инженер; б) хотя бы один инженер?
Сколько четных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не должны повторяться?
Сколькими способами можно поставить в ряд 6 автомобилей так, чтобы два определенных автомобиля оказались рядом?
Сколько автомобильных номеров формата Б ЦЦЦ ББ можно составить, если можно использовать все цифры и те буквы русского алфавита, которые имеют написание, подобное латинским буквам?
Слайд 15ОТВЕТЫ
1. 27. 2. а) 25; б) 20. 3. 303600. 4.
1540. 5. 362880. 6. а) 60; б) 125; в) 12;
г) 25. 7. 560. 8. 3003. 9. 151200. 10. 210. 11.
512. 12. а) 120; б) 420; в) 24. 13. 11880. 14.
2520. 15. 6930. 16. а) 2016; б) 992; в) 1024. 17. а) 252; б) 756.
18. 48. 19. 240. 20.
1726272.
Источник: theslide.ru