В задачах комбинаторного анализа исследуются дискретные множества, т.е. множества, составленные из отдельных обособленных элементов. Особенность комбинаторных задач заключается в том, что в них внимание уделяется двум видам операций: отбору подмножеств и упорядочению элементов.
Выполнение комбинаторных операций отбора подмножеств осуществляется по двум логическим правилам:
1. Правило суммы. Если некоторый объект A можно выбрать n способами, а другой объект B можно выбрать m способами, то выбор либо A, либо B можно получить n+m способами.
2. Правило произведения. Если некоторый выбор A можно осуществить n различными способами, а для каждого этих способов некоторый другой выбор В можно осуществить m способами, то выбор А и В в указанном порядке можно осуществить способами.
Пример. В розыгрыше первенства страны по футболу принимают участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?
Решение. Золотую медаль может получить одна из 16 команд. После того как определен владелец золотой медали, серебряную медаль может получить одна из оставшихся 15 команд. Следовательно, общее число способов которыми могут быть распределены золотая и серебряная медали равно 16*15=240.
Победитель Соцсоревнования ПОЛНЫЙ КОМПЛЕКТ
Определение. Набор элементовназывается выборкой объема r из n элементов или (n,r) — выборкой.
Если элементы упорядоченной (n;r) – выборки попарно различны, то такая выборка называется (n;r) – перестановкой. Число (n;r) – перестановок обозначается символом Рn,r или P(n;r).
Упорядоченная (n;r) – выборка, в которой элементы могут повторяться, называется перестановкой с повторениями из n элементов по r и обозначаетсяили .
Неупорядоченная (n,r) — выборка без повторений называется сочетанием из n элементов по r и обозначаются.
Неупорядоченная (n,r) -выборка с повторениями называется сочетанием с повторениями из n элементов по r и обозначаются.
Пример. Пусть . Указать все упорядоченные,неупорядоченные выборки с повторениями и без повторений из трех элементов по два.
Решение. 1. aa; ab; ac; ba; bb; bc; ca; cb; cc – девять перестановок с повторениями, .
2. ab; ac; ba; bc; ca; cb – шесть перестановок без повторений, Р3,2=6.
3. ab; ac; bc –три сочетания без повторений, .
4. aa; ab; ac; bb; bc; cc – шесть сочетаний с повторениями, .
Теорема 1. Число упорядоченных r – элементных подмножеств множества А, состоящего из n элементов, равно .
Следствие. Число (n;r) –размещений с повторениями равно .
Пример. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, причем все уроки различные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник?
Решение. Речь идет о 6 перестановках без повторения из 10 элементов. Тогда число способов составления расписания будет .
Пример. Для запирания сейфов и автоматических камер хранения применяют секретные замки, которые открываются лишь тогда, когда набрано «тайное слово». Это слово выбирают с помощью одного или нескольких дисков, на которых нанесены буквы. Пусть на диск нанесены 12 букв, а секретное слово из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком не знающим секретного слова?
Распаковка золотой медали XXIV зимних Олимпийских игр в Пекине 2022.
Решение. Общее число комбинаций равно.
Теорема 2. Число перестановок
Следствие. Число перестановок, которые можно составить из элементов, среди которых имеется элементов первого типа, элементов второго типа и т.д. равно .
Пример. Пакет акций состоит из акций четырех типов: 5 акций типа A, 3 акции типа B и по одной акции типов C и D. Сколькими способами можно распродать этот пакет, продавая по одной акции ежедневно?
Решение. Каждая распродажа однозначно определяется словом длины 10, составленном из пяти букв A, трех букв B, одной буквы C и одной буквы D (буква, стоящая на месте i, означает, что в день i была продана акция соответствующего типа). Значит, число всевозможных распродаж составляет .
Теорема 3. Число всех неупорядоченных r – элементных подмножеств множества А, состоящего из n элементов, равно .
Следствие. Число (n;r) – сочетаний с повторениями равно .
Пример. Найдем число способов разложить 10 одинаковых монет по трем карманам.
Решение. Каждый расклад монет представляет собой сочетание с повторениями из трех элементов по 10. Каждый «карман» входит в выборку столько раз, сколько монет в него положено. Таким образом, искомое число способов расклада равно
Числа сочетаний присутствуют в формуле бинома Ньютона, откуда они получили название биномиальных коэффициентов.
Теорема 4. .
Доказательство. Эту формулу докажем методом математической индукции. База индукции: проверим при n =1
, т.е. формула верна.
Индуктивное предположение. Предположим, что формула () верна для: n=k −1:
Шаг индукции. Необходимо доказать, что формула верна для
Следствие 1. .
Следствие 2. .
Теорема 5. .
Теорема 6. .
Из следует способ вычисления биномиальных коэффициентов, известный как треугольник Паскаля.
В этом треугольнике каждое число (кроме единиц на боковых сторонах) является суммой двух чисел, стоящих над ним. Число сочетаний находится в (n+1) -м ряду на (r+1) -м месте.
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Источник: studopedia.ru
Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства страны по футболу, если число участвующих в первенстве команд равно 16?
Найдите правильный ответ на вопрос ✅ «Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства страны по футболу, если число участвующих в . » по предмету Алгебра, а если вы сомневаетесь в правильности ответов или ответ отсутствует, то попробуйте воспользоваться умным поиском на сайте и найти ответы на похожие вопросы.
Новые вопросы по алгебре
Берём три листа бумаги. Некоторые из них разрываем на три части. Из полученных листков некоторые снова разрывают на три части и так далее. После подсчета оказалось 34 листка. Правильно ли был произведен подсчет?
Упростите выражения (x-3) ^2-x (-20-2x)
7.5. Установите соответствие между графиками функций и формулами, y=-1/2x 2) y=-x-2 3) y = корень x
Оцените периметр параллелограмма со сторонами А см и Б см, если: 15 < или = А < или = 19 и 6 < или = Б < или = 11
Если стоимость одной плитки 90 тг и стоимость необходимого клея 720 тг, то какова сумма товара?
Главная » Алгебра » Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства страны по футболу, если число участвующих в первенстве команд равно 16?
Источник: iotvet.com
Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства 16
Вопрос по алгебре:
Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали по итогам первенства страны по футболу, если число участвующих в первенстве команд равно 16?
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
- bookmark_border
- 15.01.2017 01:05
- Алгебра
- remove_red_eye 13820
- thumb_up 47
Ответы и объяснения 1
viteding748
Золотую медаль может получить любая из 16-ти команд, серебряную- любая из оставшихся 15-ти.
- 16.01.2017 12:29
- thumb_up 7
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.
Источник: online-otvet.ru