Правило произведения. Пусть элемент х1 строки (х1, х2, …, хk) можно выбрать n1 способами; после каждого выбора х1 элемент х2 можно выбрать n2 способами; после выборов х1 и х2 элемент х3 можно выбрать n3 способами и т.д.; после выборов х1, х2, …, хk-1 элемент хk можно выбрать nk способами. Тогда строку (х1, х2, …, хk) можно образовать n1 × n2 × … × nk способами.
Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все цифры которого различны?
Каждому четырехзначному числу можно поставить во взаимно однозначное соответствие строку (х1, х2, х3, х4), где х1, х2, х3, х4 – соответственно 1, 2, 3 и 4-я цифры. Элемент х1 этой строки можно выбрать 9 способами (любую из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); элемент х2 можно выбрать также 9 способами (теперь можно использовать и цифру 0, но первую выбранную цифру повторить нельзя); элемент х3 можно выбрать 8 способами (уже выбранные первые две цифры повторить нельзя); наконец, элемент х4 можно выбрать 7 способами. Согласно правилу произведения искомое число способов выбора четырехзначного числа с различными цифрами равно: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536.
Вопросы к параграфу, глава 10 №1-4 — Математика 6 класс Дорофеев
Размещения с повторениями. Пусть Х – множество, состоящее из n элементов (n-членное множество). Тогда любая строка длиной k, составленная из элементов множества Х, называется размещением с повторениями из n элементов по k.
Число всех размещений с повторениями из n элементов по k равно n k .
Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля?
Четырехзначные числа указанного вида можно рассматривать как строки длиной 4, составленные из элементов множества Х = , т.е. как размещения с повторениями из 9 элементов по 4. Следовательно, искомое число способов равно: 9 4 = 6561.
Размещения без повторений. Перестановки. Пусть Х по-прежнему n -членное множество. Тогда любая строка длиной k, составленная из различных элементов множества Х, называется размещением без повторений из n элементов по k. Число всех таких размещений обозначается и равно:
В случае, когда k = n, размещения без повторений называются перестановками из n элементов. Число всех перестановок из n элементов обозначается Pn и равно:
10 спортсменов разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть распределены между спортсменами?
Предположим, что спортсмены пронумерованы числами от 1 до 10 и х1, х2, х3 – номера спортсменов, получивших золотую, серебряную и бронзовую медали. Каждому такому распределению медалей соответствует строка (х1, х2, х3), состоящая из различных чисел (номеров спортсменов). Обратно каждой строке (х1, х2, х3) соответствует способ распределения медалей. Следовательно, число способов распределения медалей равно числу размещений без повторений из 10 элементов по 3, т.е.
Сочетания. Всякое k -членное подмножество n-членного множества называется сочетанием из n элементов по k.
Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается . Справедлива формула
Урок 2. Комбинаторика. Выбор формулы. Перестановки. Алгебра 11 класс.
Числа , , ,…, , являются коэффициентами в разложении бинома Ньютона:
(a + b) n = a 0 b n + a b n-1 + … + a n b 0 .
Сколькими способами из 10 спортсменов можно отобрать команду из 6 человек?
Очевидно, команда из 6 человек является 6-членным подмножеством 10-членного множества, т.е. сочетанием из 10 элементов по 6. Следовательно, искомое число способов равно
Размещения данного состава. Полиномиальная формула. Размещением данного состава (k1, k2,…, km) из элементов m -членного множества Х = < x1, x2,…, xm > называется всякая строка длинной k1 + k2 + … + km = n, составленная из элементов множества Х, так, что элемент х1 повторяется k1 раз, элемент x2 – k2 раз и т.д., элемент xm – km раз. Например, если Х= < x1, x2,x3 >, то (x1, x2, x2, х1, х1) есть размещение состава (3,2,0).
Количество различных размещений заданного состава (k1, k2,…, km) обозначается А(k1, k2,…, km) и равно:
Следующая формула, обобщающая формулу бинома Ньютона, называется полиномиальной:
где суммирование проводится по всевозможным наборам целых неотрицательных чисел k1, k2,…, km, для которых k1 + k2 + … + km = n.
Сколькими способами можно поставить на книжной полке 3 экземпляра учебника по алгебре, 2 экземпляра учебника по геометрии и один экземпляр учебника по математическому анализу?
Очевидно, всякой расстановке указанных учебников взаимно однозначно соответствует строка длиной 3 + 2 + 1 = 6 состава (3, 2,1). Следовательно, искомое число способов равно числу размещений состава (3, 2, 1).т.е.
Если из совокупности объема n производится выборка k элементов с возвращением, то вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной .
Если выборка производится без возвращения, то эта вероятность равна .
Пусть наступление события А состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными ограничениями и количество таких выборок равно m. Тогда в случае выборки с возвращением имеем:
в случае выборки без возвращения:
Наудачу выбирается трехзначное число, в десятичной записи которого нет нуля. Какова вероятность того, что у выбранного числа ровно две одинаковые цифры?
Представим себе, что на 9 одинаковых карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и эти карточки помещены в урну. Выбор наудачу трехзначного числа равносилен последовательному извлечению с возвращением из урны 3 карточек и записыванием цифр в порядке их появления. Следовательно, число всех элементарных исходов опыта равно 9 3 = 729.
Количество благоприятных случаев для интересующего нас события А подсчитываем так: 2 различные цифры х и у можно выбрать способами; если х и у выбраны, то из них можно составить , т.е. 3 трехзначных числа, в которых х встречается два раза, а у –один раз; столько же будет чисел, в которых у встречается дважды; х – один раз. Таким образом, число благоприятных случаев равно 36 × (3 + 3) = 216. Искомая вероятность равна:
Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»?
Чтобы отличать одинаковые буквы друг от друга, снабдим их номерами: р1, р2, о1, о2. Тогда общее число элементарных исходов равно: . Слово «тор» получится в 1 × 2 ×2 = 4 случаях (то1р1, то1р2, то2р1, то2р2). Искомая вероятность равна: .
При подсчете числа благоприятных случаев мы здесь воспользовались правилом произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» – двумя и букву «р» – двумя способами.
В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?
Количество всех элементарных исходов равно . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей способами, а из N — n небракованных можно выбрать k – s небракованных деталей способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно × . Искомая вероятность равна:
В бригаде 4 женщины и 3 мужчин. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчин?
Применим схему статистического выбора. Из 7 членов бригады 4 человека можно выбрать = 35 способами, следовательно, число всех элементарных исходов испытания равно 35. Далее, из 4 женщин можно выбрать 2 женщины = 6 способами, а из 3 мужчин можно выбрать 2 мужчин = 3 способами. Тогда число благоприятных случаев будет равно 6 × 3 = 18. Таким образом, .
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Источник: studopedia.ru
Сколькими способами могут распределиться золотая и серебряная медали и бронзовая медали
Привет Лёва Середнячок
А) сколькими способами могут распределиться золотая ,серебряная или бронзовая медали на чемпионате по фигурному катанию между тремя претендентами на место в стройке призёров?
Б) сколько можно составить трёхзначных чисел из цифр 2,4,8, используя каждую цифру только один раз?
4 (2 оценки)
TimProfit 5 лет назад
Светило науки — 2 ответа — 0 раз оказано помощи
А) 9 способами
Б) 6 чисел: 248,284,428,482,824,842.
Это всё комбинаторика
Источник: vashurok.com
В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идёт за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?
размещение без повторений:А (3,18) =18*17*16 =4896
⭐⭐⭐⭐⭐ Лучший ответ на вопрос «В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идёт за золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами медали могут быть распределены между командами?» от пользователя Евгений Козлов в разделе Алгебра. Задавайте вопросы и делитесь своими знаниями.
Открой этот вопрос на телефоне — включи камеру и наведи на QR-код!
Источник: shpora.org