Температура дебая для серебра

Тепловое движение частичек в кристаллах существенно отличается от теплового движения молекул в газах и жидкостях. Частички в кристаллах совершают колебания возле положений равновесия – узлов кристаллической решетки. При отклонении частички от положения равновесия возникает сила, которая стремиться вернуть ее в положение равновесия. При малых отклонениях эти силы квазиупругие и колебания частичек гармонические. При комнатных температурах амплитуда колебаний ~ 0,1 межатомного расстояния, это значит 1 – 2 нм.

Тепловые колебания частичек не имеют определенной ориентации. Это сложные колебания, которые определяются связями с соседними частичками. Энергия колебательного движения частичек зависит от температуры и определяет внутреннюю энергию кристалла. При понижении температуры внутренняя энергия уменьшается.

Однако при T → 0 внутренняя энергия стремится не к нулю, а, согласно квантовой теории, к некоторому значению U 0, которое называется нулевой энергией. Нулевая энергия обычно значительно меньше энергии взаимодействия частичек.

Лекция 2-1-6 МЭТ Зависимость проводимости металлических сплавов от состава и температуры

При нагревании твердые тела расширяются. При увеличении температуры увеличивается амплитуда колебаний и энергия частичек. Однако увеличение амплитуды колебаний не может объяснить тепловое расширение твердых тел, потому что с ростом амплитуды положение равновесия частичек изменяться не должно.

Тепловое расширение вызывается увеличением энергии колеблющихся частичек. Колебания становятся ангармоническим (не гармоническими).

Рассмотрим кривую зависимости потенциальной энергии частичек от расстояния между ними (рис.1):

Рис.1. Тепловое расширение кристаллов: T 4> T 3> T 2> T 1

Пусть горизонтальные прямые показывают уровни энергии атома в кристаллической решетке при разных температурах (T 1, T 2 и т.д.). Точки пересечения прямых с кривой энергии определяют крайние положения атома, которые он занимает при колебаниях. Середина прямой определяет положение равновесия атома при данной температуре.

При повышении температуры атом переходит на более высокие энергетические уровни.

Из-за разной зависимости сил притяжения и отталкивания от расстояния между атомами, кривая потенциальной энергии асимметрична в верхней части.

Вследствие асимметричности кривой зависимости E п(r), центры прямых при повышении температуры смещаются вправо, что означает смещение положения равновесия атома, т.е. увеличение межатомного расстояния.

Следовательно, причиной теплового расширения твердых тел при нагревании является не увеличение амплитуды колебания атомов, а увеличение межатомных расстояний, которые характеризуют новое положение равновесия.

Пусть при температуре T 1 длина тела l, а при температуре T 2 — l′. Опыты показали:

где коэффициент пропорциональности α – коэффициент линейного расширения, ∆l / l – относительное удлинение.

Коэффициент линейного расширения численно равен относительному удлинению при повышении температуры на 1K.

По следам Дебая

Для большинства твердых тел α ≈ 10 -5 – 10 -6 K -1 . Величина α несколько уменьшается с понижением температуры.

Из-за анизотропии кристаллов, коэффициент линейного расширения разный для разных направлений. Поэтому, если в кристалле провести произвольную прямую, то при повышении температуры она не будет оставаться прямой.

Однако в любом кристалле существуют такие направления, вдоль которых прямая будет оставаться прямой и при тепловом расширении кристалла. Такие направления называются кристаллографическими осями.

Значения коэффициента линейного расширения вдоль этих осей называются главными. В зависимости от типа решетки, кристаллы могут иметь одну (одноосные), две (двухосные), три (трехосные) кристаллографические оси и, соответственно, один, два, три главных коэффициента линейного расширения.

При нагревании возрастает, и объем твердого тела. Установлено, что относительное изменение объема тела пропорционально изменению температуры:

где ∆V / V – относительное изменение объема тела при изменении температуры на ∆T. Коэффициент пропорциональности β называется коэффициентом объемного расширения:

Коэффициент объемного расширения численно равен относительному изменению объема при изменении температуры на 1K.

Если α 1, α 2, α 3 – главные коэффициенты линейного расширения кристалла, то коэффициент его объемного расширения определяется выражением:

Для кристаллов с кубической решеткой и для всех изотропных тел:

Если при нагревании твердое тело не имеет возможности свободно расширяться, то возникают очень большие напряжения, которые надо учитывать на практике.

При нагревании твердого тела теплота идет на увеличение энергии колебаний атомов. Энергия колебательного движения складывается из кинетической и потенциальной энергии. Каждое колебание можно разложить на три составляющих по осям координат. Поэтому каждая частица обладает тремя колебательными степенями свободы iк = 3.

При гармонических колебаниях кинетическая энергия колебательного движения равна потенциальной. Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы на каждую колебательную степень свободы приходится 1/2 kT в виде кинетической энергии и 1/2 kT в виде потенциальной. Следовательно, полная энергия колеблющейся частицы будет равна:

Внутренняя энергия 1 моля твердого тела:

где N – число частиц в одном моле твердого тела.

Для химически простых веществ число частиц в 1 моле равно числу Авогадро N = Na. Тогда из (8) и (9):

Коэффициент объемного расширения твердых тел очень мал, поэтому Cp ≈ CV = C. Следовательно, вся теплота, подведенная к твердому телу, идет на увеличение его внутренней энергии. Тогда молярная теплоемкость твердого тела:

Согласно (11) молярная теплоемкость химически простых твердых тел равна 3 R и не зависит от температуры. Это закон Дюлонга и Пти (1818г.). Закон Дюлонга и Пти хорошо выполняется для многих веществ при комнатных температурах.

При определении молярной теплоемкости химически сложных веществ необходимо учитывать общее число частиц в 1 моле данного вещества. У химически сложных веществ общее число частиц в 1 моле равно числу Авогадро умноженному на число атомов, из которых складывается молекула данного вещества. Например, KCl – в одном моле Na атомов калия и Na атомов хлора – всего 2 Na частиц. Молярная теплоемкость такого кристалла 2*3 R = 6 R. В случае трехатомных молекул молярная теплоемкость 9 R, четырехатомных — 12 R.

Эти рассуждения совпадают с эмпирически установленным законом Неймана-Коппа:

Молярная теплоемкость твердых соединений равна сумме атомных теплоемкостей элементов, которые входят в это соединение:

где n – число атомов, входящих в молекулу данного соединения.

Этот закон, также как и закон Дюлонга и Пти выполняется при довольно высоких температурах, при которых колебания частиц можно считать независимыми.

Некоторые вещества не подчиняются закону Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость алмаза при комнатных температурах, много меньше 3 R, и только при температурах больших, чем 1000 о C она приближается к значению 3 R.

Это не единственное отклонение от закона Дюлонга и Пти. При низких температурах теплоемкость кристаллических веществ быстро уменьшается и стремится к нулю при абсолютном нуле температуры (рис.2).

Рис.2. Зависимость теплоемкости от температуры

Вблизи абсолютного нуля теплоемкость всех кристаллов пропорциональна T 3 , и только при достаточно высокой температуре, характерной для каждого вещества, начинают выполняться законы Дюлонга и Пти (11) и Неймана-Коппа (12).

Эти законы являются следствием закона о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Тот факт, что твердые тела не подчиняются этим законам, свидетельствует о том, что закон о равномерном распределении энергии по степеням свободы является приблизительным, и не применим при низких температурах.

Точная, квантовая теория теплоемкости кристаллов была создана Эйнштейном и Дебаем. Квантовая теория теплоемкости учитывает:

1. Квантование энергии колебательного движения – энергия колебательного движения может принимать только некоторые, дискретные значения;

2. Колебания частиц в кристаллической решетке не являются независимыми.

Из теории Дебая следует, что при температурах близких к абсолютному нулю, внутренняя энергия твердого тела пропорциональна четвертой степени температуры:

где a – постоянная, зависящая от частоты колебаний частиц.

Следовательно, теплоемкость кристаллов:

(14) – закон кубов Дебая. Из теории Дебая следует, что, начиная с некоторой температуры разной для разных веществ (характеристическая температура Дебая) теплоемкость начинает быстро уменьшаться с понижением температуры.

Температура Дебая считается границей между низкими и высокими температурами (и не только для теплоемкости). Температура Дебая для серебра – 210 o C, алюминия – 400 o C, алмаза – 2000 o C.

Для кристаллов, не подчиняющихся закону Дюлонга и Пти при комнатных температурах (алмаз, бор, кремний), характеристические температуры больше 1000 o C, и поэтому комнатные температуры являются для них низкими.

Как показали опыты, для некоторых веществ теплоемкость пропорциональна T 2 , а для некоторых ~ T. Это связано с особенностями строения кристаллической решетки. Если частицы связаны с соседними частицами одинаково сильно во всех трех направлениях – выполняется закон кубов Дебая. Если вещество имеет слоистую структуру (графит, слюда), то связь частиц в двух направлениях (в одной плоскости) сильнее, чем в третьем направлении (между слоями). Для этих веществ теплоемкость ~ T 2 . Если вещество складывается из частиц с цепочной связью и цепи связаны между собой слабо, то теплоемкость ~ T (HF, BiO3, плавленый кварц).

Источник: studopedia.su

Vп. Элементы физики твердого тела а) Упругие свойства твердых тел, тепловое расширение и классическая теория теплоемкости твердых тел.

ε׀׀=– относительное удлинение;

– относительное поперечное сжатие;

– механическое напряжение;

; ε׀׀=– закон Гука;

/ ε׀׀ – коэффициент Пуассона;

– линейное расширение твердых тел при нагревании;

– объемное расширение твердых тел при нагревании;

– связь коэффициентов линейного и объемного расширения для изотропных тел и для кристаллов с кубической решеткой;

– закон Дюлонга и Пти.

Таблица 2. Свойства твердых тел

Коэффициент линейного теплового расширения, α . 10 5 К -1

Б) Теплоемкость (квантовая теория)

– молярная теплоемкость кристалла по Дебаю приTTD;

– количество теплоты, необходимое для нагревания тела;

– характеристическая температура Дебая;

– характеристическая температура Эйнштейна.

В) Проводимость металлов и полупроводников. Температурная зависимость сопротивления металлов и полупроводников.

– зависимость сопротивления металла от температуры, где–температурный коэффициент сопротивления для чистых металлов;

– зависимость сопротивления собственного полупроводника от температуры, где ΔE–ширина запрещенной зоны;

– подвижность носителей тока;

– удельная электропроводимость.

Примеры решения задач

Медная проволока натянута горячей при температуре 150 0 С между двумя прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая, проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до разрыва проволоки.

Решение

Длина нагретой проволоки при температуре t1 ; при этом проволока не деформирована ( не натянута). Длина остывшей до искомой температурыненатянутой проволоки.

Но, поскольку проволока закреплена между неподвижными стенами, она оказывается растянутой на. По закону Гукаε׀׀=, где ε׀׀=– относительное удлинение, σ=σпр. – механическое напряжение. Тогда; или, откуда, и. Далее,.Подставим численные значения:.

Ответ: .

Вычислить минимальную длину волны Дебая в титане, если его характеристическая температура равна 280 К, а скоростьзвука в нем v=6·10 3 м/с.

Решение

Характеристическая температура Дебая определяется формулой: , откуда. Подставим численные значения:, что по порядку величины соответствует межатомным расстояниям в кристалле.

Ответ: .

Ответ: .

Задание 7

1. Какую длину должны иметь стальной и медный стержни при 0 0 С, чтобы при любой температуре стальной стержень был длиннее медного на 5 см?
2. Концы железной балки сечением 75 см 2 упираются в две стены. Температура 0 0 С. Определить силу, которая будет действовать на стены, если температура повысится на 20 К.
3. При каком растягивающем напряжении медный стержень получит такое же удлинение, как и при нагревании от 0 0 С до 100 0 С?
4. Какие силы надо приложить к концам латунного стержня с площадью поперечного сечения 10 см 2 , чтобы не дать ему расшириться при нагревании от 0 0 С до 30 0 С?
5. Груз математического маятника подвешен на стальной проволоке длиной 1.2 м. На сколько изменится период колебаний маятника при увеличении температуры от 0 0 С до 50 0 С?
6. К стальной проволоке радиусом 1 мм подвешен груз. Под действием груза проволока получила такое же удлинение, как при нагревании от 0 0 С до 20 0 С. Найти величину груза.
7. Медная проволока натянута горячей при температуре 150 0 С между двумя прочными неподвижными стенами. При какой температуре, остывая, проволока разорвется? Считать, что закон Гука выполняется вплоть до разрыва проволоки.
8. При 0 0 С цинковый стержень имеет длину 200 мм, а медный 201 мм. Поперечные размеры их при 0 0 С одинаковы. При какой температуре их длины одинаковы? При какой температуре их объемы одинаковы?
9. Сколько атомов приходится на одну примитивную ячейку в кристаллах с простой, объемно-центрированной и гранецентрированной кубической структурой?
10. Алюминиевый диск, взятый при температуре 0 0 С, при нагревании до 100 0 С увеличил свой объем на 4.6 см 3 . Какое количество теплоты затрачено на нагревание?
11. Найти максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в кристалле, характеризуемом температурой Дебая, равной 300 К. Фотон какой длины волны обладал бы такой же энергией?
12. Какова (в эВ) максимальная энергия фононов в кристалле свинца, если его температура Дебая равна 94 К?
13. Германий и кремний кристаллизуются в решетки с близкими параметрами и имеют почти равные модули упругости. Оценить отношение их дебаевских температур.
14. Найти максимальную частоту собственных колебаний в кристалле железа, если при температуре T=20 К его удельная теплоемкость с=2.7 мДж/(г·К).
15. Можно ли считать температуры 20 и 30 К низкими для кристалла, теплоемкость которого при этих температурах равна соответственно 0.226 и 0.760 Дж/(моль·К)?
16. При нагревании кристалла меди массой 25 г от 10 К до 20 К ему было сообщено количество теплоты 0.80 Дж. Найти дебаевскую температуру для меди. Условие ТDсчитать выполненным.
17. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона (звукового кванта) в меди, дебаевская температура которой равна 330 К.
18. Найти частоту колебаний атомов серебра по теории Эйнштейна, если характеристическая температура Эйнштейна для серебра равна 165 К.
19. Определить максимальную частоту собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристическая температура равна 180 К.
20. Вычислить максимальную частоту Дебая, если известно, что молярная теплоемкость серебра 1.7Дж/(моль· К) при Т=20 К. Считать условие ТDвыполненным.
21. При нагревании серебра массой 10 г от 10 К до 20 К было подведено количество теплоты, равное 0.71 Дж. Определить характеристическую температуру Дебая серебра. Считать условие ТDвыполненным.
22. Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла калия массой 200 г от температуры 4 К до 5 К. Характеристическая температура Дебая для калия равна 100 К. Считать условие ТDвыполненным.
23. Германиевый кристалл, ширина запрещенной зоны в котором равна 0.72 эВ, нагревают от температуры 0 0 С до температуры 15 0 С. Во сколько раз возрастет его удельная электропроводимость?
24. При нагревании кремниевого кристалла от температуры 0 0 С до температуры 10 0 С его удельная электропроводимость возрастает в 2.28 раза. Определить ширину запрещенной зоны кремния.
25. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К проводимость: а) металла; б) собственного полупроводника, ширина запрещенной зоны которого 0.3 эВ?
26. Найти минимальную энергию образования пары электрон — дырка в беспримесном полупроводнике, проводимость которого возрастает в 5 раз при увеличении температуры от 300 K до 400 К.
27. Собственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление 0.48 Ом·м. Определить концентрацию носителей заряда, если подвижность unи uрэлектронов и дырок соответственно равны 0.36 м 2 /(В·с) и 0.16 м 2 /(В·с).
28. Собственный полупроводник (германиевый) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление 0.5 Ом·м. Определить концентрацию носителей заряда, если подвижность unи uрэлектронов и дырок соответственно равны 0.38 м 2 /(В·с) и 0.18 м 2 /(В·с).

Источник: studfile.net

При нагревании серебра массой m=10 г от T1=10 К до T2=20 К было подведено Q=0,71 Дж теплоты. Определить характе .
Подробнее смотрите ниже

Тема: Глава 10. Физика твердого тела.
§ 50. Тепловые свойства.

Нашли ошибку? Сообщите в комментариях (внизу страницы)

Смотрите также:

Раздел: Физика

Полное условие:

50.25. При нагревании серебра массой m=10 г от T1=10 К до T2=20 К было подведено ΔQ=0,71 Дж теплоты. Определить характеристическую температуру θD Дебая серебра. Считать TD.

Решение, ответ задачи 4456 из ГДЗ и решебников:

Задавайте их внизу страницы (в комментариях), подскажем 😉

Для корректного отображения добавьте наш сайт в исключения блокировщика.

Этот учебный материал представлен 1 способом:

Для просмотра в натуральную величину нажмите на картинку

Смотрите также:

Идея нашего сайта — развиваться в направлении помощи ученикам школ и студентам. Мы размещаем задачи и решения к ним. Новые задачи, которые недавно добавляются на наш сайт, временно могут не содержать решения, но очень скоро решение появится, т.к. администраторы следят за этим. И если сегодня вы попали на наш сайт и не нашли решения, то завтра уже к этой задаче может появится решение, а также и ко многим другим задачам. основной поток посетителей к нам — это из поисковых систем при наборе запроса, содержащего условие задачи

—>Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ —>Регистрация | —>Вход ]

Источник: bambookes.ru