Температура вырождения для золота определите концентрацию свободных электронов в золоте

*Вероятность заполнения состояний (распределение Ферми-Дирака):

*Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле:

где dn(Е) — концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от Е до Е + dЕ; m и Е — масса и энергия электрона; Еf — уровень (или энергия) Ферми.

*Уровень Ферми в металле при Т=0

*Температура Ткр вырождения

Примеры решения задач.

1. Доказать, что средняя энергия свободных электронов в металле вблизи T=0 К составляет 3/5 энергии Ферми.

Решение

При низкой температуре уровень Ферми Е f характеризует максимальную энергию электронов проводимости в металле. Распределение электронов по энергиям

dn (Е) = Z (Е) f (Е) d Е

где dn (Е)—число электронов, приходящихся на энергетиче­ский интервал от Е до Е+ d Е; Z (Е) —плотность состояний в зоне проводимости, т. е. число состояний, приходящихся на еди­ничный интервал энергий; f (Е)—вероятность заполнения квантовых состояний электронами.

Спектр излучения водорода (видео 12) | Квантовая физика | Физика

В соответствии с распределением Ферми—Дирака для всех состояний с энергией Е < Е f функция f (Е)=1, а для состоя­ний с энергией Е > Е f функция f (Е)=0. Для определения средней энергии электронов необходимо суммарную энергию всех электронов, находящихся в единице объема, разделить на их концентрацию n:

где mn—эффективная масса электрона, получаем

2. Рассчитать положение уровня Ферми и суммарную кинетическую энергию свободных электронов в 1 см 3 серебра при температуре вблизи абсолютного нуля, полагая, что число свободных электронов равно количеству атомов серебра.

Решение

Концентрация свободных электронов равна концентрации атомов, поэтому n = N А r /М, где r- плотность материала, NA — число Авогадро, М — атомный (молекулярный) вес. Отсюда энергия Ферми

= 8,80-10 -19 Дж.=5,5 эВ

Суммарная кинетическая энергия свободных электронов

3. Определить минимальную длину волны де Бройля для свободных электронов при T» 0К в металле с простой кубиче­ской кристаллической решеткой, если на каждый атом кристал­ла приходится один свободный электрон. Период решетки paвен а.

Решение

В кристалле с простой кубической решеткой на объем каж­дой элементарной ячейки приходится один атом и соответствен­но один свободный электрон. Поэтому концентрация свободных электронов определяется по формуле n=a -3 . С учетом этого минимальная длина волны де Бройля

4. Оценить среднее энергетическое расстояние dE меж­ду разрешенными энергетическими уровнями зоны проводимо­сти в кристалле серебра объемом V= 1 см 3 , если энергия Фер­ми Еf=5,5 эВ.

Решение

Среднее энергетическое расстояние между разрешенными уровнями dЕ = Еf /N, где N-число уровней, заполненных эле­ктронами. Концентрация электронов связана с энергией Ферми выра­жением

Все уровни, лежащие ниже уровня Ферми Е f, практически полностью заполнены электронами, причем согласно принципу Паули на каждом уровне находится два электрона. Отсюда следует, что

Урок 305. Электрический ток в полупроводниках. Собственная и примесная проводимость.

dЕ = Еf /n(V/2) = 3.10 -41 Дж == 1,89.10 -22 эВ.

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Основные формулы.

*Законы Ома и Джоуля в дифференциальной форме имеют вид

где j- плотность тока; w — объемная плотность тепловой мощности; g — удельная проводимость; Е — напряженность электрического поля.

*Удельная электрическая проводимость

где е и m — заряд и масса электрона; n- концентрация электронов; — средняя длина свободного пробега; v — средняя скорость хаотического движения электронов.

*Закон Видемана-Франца

где l — теплопроводность.

Примеры решения задач.

1. Вычислить длину свободного пробега электронов в меди при T=300K, если ее удельное сопротивление при этой температуре равно 0,017 мкОм/м.

Решение

Согласно представлениям квантовой теории, удельное сопротивление металлов связано с длиной свободного пробега электронов L соотношением

Концентрация свободных электронов в меди n=NАd/М, где d— плотность материала, NA — число Авогадро, М — атомный(молекулярный) вес меди.

n =dNA/М = 8.45×10 28 м -3

Отсюда следует, что длина свободного пробега

2. Определить время, в течение которого электрон прой­дет расстояние 1 км по медному проводу, если удельное со­противление меди 0,017 мкОм-м, а разность потенциалов на концах проводника U=220 В. За какое время электрон проле­тит это же расстояние, двигаясь без соударений, при той же разности потенциалов? Каково время передачи сигнала?

Решение

Из закона Ома следует, что удельная проводимость g= env/E. Концентрация свободных электронов в меди n =8,45-10 28 м -3 (см. решение примера 1). Тогда средняя скорость дрейфа электронов

Время дрейфа электрона по проводнику t=v/l=10 6 с. При отсутствии столкновений с узлами решетки электрон движется равноускоренно и время пролета

Передача энергии вдоль проводов линии осуществляется электромагнитным полем, распространяющимся вдоль прово­дов со скоростью света с. Полагая, что средой, окружающей провод, является воздух, время передачи сигнала

t =l/с= 10 3 /(3×10 8 )=3,33.10 -6 с.

3. Определить температурный коэффициент линейного расширения ai и удлинение нихромовой проволоки, если извест­но, что при повышении температуры от 20 до 1000°С электри­ческое сопротивление проволоки изменяется от 50 до 56,6 0м. Длина проволоки в холодном состоянии L=50 м. Температур­ный коэффициент удельного сопротивления нихрома принять равным 15×10 -5 К -1 .

Решение

Температурный коэффициент сопротивления проволоки:

Отсюда DL = Lai DT=0,735м.

4. Определить, во сколько раз изменится удельная теп­лопроводность lT меди при изменении температуры DT от 20 до 200°С.

Решение

Согласно закону Видемана—Франца, lT /g = LoT, где g — удельная проводимость; Lo =2,45-10 -8 В 2 К -2 — число Лоренца. Отсюда следует, что

5. Непрерывные экспериментальные наблюдения за током, наведенным в замкнутом контуре из сверхпроводящего материала, показали, что в течение одного года ток уменьшается в результате релаксации системы к равновесному состоянию всего на 0,01%. Принимая концентрацию электронов проводимости n=4×10 28 м -3 , оцените удельное сопротивление материала в сверхпроводящем состоянии и сравните его с удельным сопротивлением меди в нормальных условиях.

Решение

В соответствии с кинетическим уравнением Больцмана затухание тока определяется выражением

где t — время релаксации.

Отсюда следует, что

Для t=3,15×10 7 с (1 год) t =3,15×10 11 с.

Удельная проводимость материала связана с временем релаксации соотношением

g = 1/r = e 2 nt/m = 3.54×10 32 Cм/м

Сравнивая удельные сопротивления сверхпроводника и меди ( rсu=1,7×10 -8 Ом×м), получаем

Дата добавления: 2020-04-25 ; просмотров: 3222 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник: studopedia.net

Примеры решения задач по темам части № 1 «Строение и свойства твёрдых тел. Квантовые статистики» , страница 4

Энергия будет максимальной при минимально возможном значении l. Для одномерной атомной цепочки lmin = 2a. C учетом последнего замечания формула для энергии фонона принимает вид:

Подставим числовые значения:

Тема 3. Квантовые статистики

1. Плотность разрешенных квантовых состояний электронов внутри энергетической зоны

где V — объем кристалла, m — масса электрона, Е — энергия электрона, h — постоянная Планка.

2. Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле

— функция распределения Ферми — Дирака. Здесь ЕF — энергия Ферми, k — постоянная Больцмана.

3. Температура вырождения электронного газа

4. Температура Ферми электронного газа

где EF(0) — энергия Ферми при Т = 0.

5. Эффективная масса электрона в кристалле

где k — волновое число электрона.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Найти численное значение энергии Ферми для меди при температуре абсолютного нуля, учитывая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон и что эффективная масса электрона приблизительно равна массе свободного электрона.

Дано: m = 63,5 10 -3 кг/моль; = 9, 1 10 -31 кг, r = 8900 кг/м 3 . Найти: ЕF (0) =?

Решение: Найдем связь концентрации электронов проводимости с энергией уровня Ферми. Общее количество электронов проводимости в металле может быть найдено по формуле

После подстановки формул для функций g(E) и f(E) в выражение (1)

учитывая, что n = N/V, получим для концентрации электронов

Отсюда энергия Ферми

По условию задачи концентрация свободных электронов в меди равна концентрации атомов меди, следовательно,

где Vm — объем одного моля меди, NA — число Авогадро.

Подставим числовые значения:

Задача 2. Вычислить среднее значение кинетической энергии электронов в меди при температуре абсолютного нуля, если энергия уровня Ферми равна 7 эВ.

Решение: Найдем суммарную кинетическую энергию всех электронов в металле, воспользовавшись формулой

Полное число электронов в металле

Среднее значение кинетической энергии электронов

После подстановки формул для функций g(E) и f(E) в выражение (1)

Подставим числовые значения:

Источник: vunivere.ru

Определить концентрацию n свободных электронов в металле при температуре T=0 .
Подробнее смотрите ниже

Тема: Глава 10.
§ 51. Электрические и магнитные свойства твердых тел.

Нашли ошибку? Сообщите в комментариях (внизу страницы)

Смотрите также:

Раздел: Физика

Полное условие:

51.1 Определить концентрацию n свободных электронов в металле при температуре T=0 К. Энергию Ферми ε принять равной 1 эВ.

Решение, ответ задачи 4394 из ГДЗ и решебников:

Задавайте их внизу страницы (в комментариях), подскажем 😉

Для корректного отображения добавьте наш сайт в исключения блокировщика.

Этот учебный материал представлен 1 способом:

Для просмотра в натуральную величину нажмите на картинку

Смотрите также:

Идея нашего сайта — развиваться в направлении помощи ученикам школ и студентам. Мы размещаем задачи и решения к ним. Новые задачи, которые недавно добавляются на наш сайт, временно могут не содержать решения, но очень скоро решение появится, т.к. администраторы следят за этим. И если сегодня вы попали на наш сайт и не нашли решения, то завтра уже к этой задаче может появится решение, а также и ко многим другим задачам. основной поток посетителей к нам — это из поисковых систем при наборе запроса, содержащего условие задачи

—>Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ —>Регистрация | —>Вход ]

Источник: bambookes.ru